Çarpanlara Ayırma nasıl yapılır, yöntemleri nelerdir?

Toplama veya çıkarma biçiminde verilen ifadeleri çarpım veya bölüm şeklinde yazma işlemine çarpanlara ayırma denir. Bu işlemi farklı şekillerde yapabiliriz:

Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Adı üzerinde ortak gördüğümüz harf veya sayı parantezine alınarak yapılır.

1. Örnek: 3x+3y ifadesinde 3’ler ortaktır bu nedenle ifadeyi 3 parantezine alırız:

3.(x+y)=3x+3y

Gruplara Ayırma:

Bir diğer yöntem gruplara ayırmadır. İfadenin her teriminde ortak harf, terim veya sayı bulunuyorsa ifadeleri ikişerli, üçerli veya daha fazla sayıda gruplara ayırabiliriz.

1. Örnek: ax+ay+bx+by=a.(x+y)+b.(x+y)= (x+y).(a+b)
2. ax+ay+bx+by ifadesinde a’ların, b’lerin, x’lerin veya y’lerin ortaklığı kullanılarak paranteze alınabilir.

Çarpanlara ayırmada kullanabileceğin özdeşlikler:

Bu konuda işlem yaparken iki kare farkı, küpler toplamı / farkı gibi farklı özdeşliklerden faydalanabiliriz. Şimdi de bunlara göz atalım:

İki Kare Farkı:

İki kare farkı çarpanlara ayırmadaki en önemli özdeşliktir. Özdeşliği sözel olarak ifade edersek: iki sayının karelerinin farkı, bu sayıların farkı ile toplamının çarpımına eşittir.

1. a²-b²= (a-b).(a+b) 
2. ax²+bx+c İfadesinin Çarpanlarına Ayrılması: a=1 ise toplamları b, çarpımları c sayısını veren m ve n sayılarını bularak çarpanlarına ayırabiliriz.

ax²+bx+c=(x+m).(x+n)

1. Eğer a 1’e eşit değilse, çarpımları ax² terimini veren sx ve tx ifadeleri bulunur. Sonrasında aynı şekilde c sayısını veren n ve m sayıları bulunur. Burada önemli nokta ifadeleri çapraz çarpıp topladığımız zaman ortadaki terimi bulabilmemiz. Ortadaki terimi elde ettikten sonra ayırdığımız ifadeleri yan yana toplar ve birbiri ile çarparız. Mantığını anladıktan sonra bol pratikle bu işlemi yapmak çok kolay olacak!

Tam Kare Açılımı:

Tam kare açılımı benim özellikle sevdiğim bir açılımdır. İlk öğrendiğim günden beri tekerleme gibi hafızama kazınmıştır. Hala soru çözerken “birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi” diye aklımdan geçiririm. Sen de birkaç soruda tekrarladıktan sonra benim gibi unutmayacaksın eminim. 

1. (a+b)²=a²+2ab+b²
2. (a-b)²=a²-2ab+b²

Küp Açılımı:

(a + b)³ ve (a – b)³ ifadelerinin eşitlerini binom açılım yardımı ile de bulabiliriz. Yeri gelmişken binom açılımı da hatırlayalım:

1. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
2. (a – b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

İki Küp Farkı ve Toplamı:

1. x³+y³=(x+y).(x²-xy+y²)
2. x³-y³=(x-y). (x²+xy+y²)

Kenar uzunluğu a birim olan bir küpten kenar uzunluğu b birim olan bir küp çıkararak iki küp farkını modelleyebiliriz. Aşağıda da gördüğün gibi b³ çıkarıldıktan sonra kalan şekil üç parçaya ayrılarak hacimleri bulunuyor. Bu hacimlerin toplamı da bize x³-y³=(x-y). (x²+xy+y²) formülünü veriyor.