İşte Cevaplar
Cevap : 9. sınıf kümeler testi soruları çözümleriyle ektedir, kolay gelsin. :)
Diğer Cevaplara Gözat
Diğer Cevaplara Gözat
Sunum İçeriği
Cevap : 9.sınıf KÜMELER KONU ANLATIMI yazılı
A. TANIM
Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.
Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.
Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,
a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur.
b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.
Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.
Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.
A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.
B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.
1. Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.
A = {a, b, c} ise, s(A) = 3 tür.
2. Ortak Özelik Yöntemi
Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özeliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.
3. Venn Şeması Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
C. EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C ≡ D dir.
Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir
{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.
F. ALT KÜME
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir.
B É A biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.
Alt Kümenin Özelikleri
Her küme kendisinin alt kümesidir. A Ì A
Boş küme her kümenin alt kümesidir. Æ Ì A
(A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.
(A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir.
n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2 üssü n dir. 3 elemanlı ise 2 üssü3 yani 2.2.2 = 8 elemanlıdır.
ÖZALT KÜME : Bir kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümelerine denir.
Özalt küme sayısını veren formulde 2 üssü n den 1 çıkarılarak bulunur.
3 elemanlı kümenin özalt küme sayısı 2 üssü 3 =8, 8-1 =7 dir.
G. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1. Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.
2. Birleşim İşleminin Özelikleri
A È Æ = A
A È A = A
A È B = B È A
A È (B È C) = (A È B) È C
A Ì B ise, A È B = B
A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.
3. Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.
4. Kesişim İşleminin Özelikleri
A Ç Æ = Æ
A Ç A = A
A Ç B = B Ç A
(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
H. İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir.
İ. ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.
Tenis veya voleybol oynayanların sayısı: a + b + c
Sadece tenis oynayanların sayısı: a
Sadece voleybol oynayanların sayısı: c
Tenis oynamayanların sayısı: c + d
Voleybol oynamayanların sayısı: a + d
Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı: a + b + c
Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı: d + a + c
Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı: d
A. TANIM
Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.
Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.
Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise,
a Î A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur.
b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.
Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.
Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.
A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.
B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.
1. Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.
A = {a, b, c} ise, s(A) = 3 tür.
2. Ortak Özelik Yöntemi
Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.
A = {x : (x in özeliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.
3. Venn Şeması Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
C. EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C ≡ D dir.
Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir
{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.
F. ALT KÜME
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir.
B É A biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.
Alt Kümenin Özelikleri
Her küme kendisinin alt kümesidir. A Ì A
Boş küme her kümenin alt kümesidir. Æ Ì A
(A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.
(A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir.
n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2 üssü n dir. 3 elemanlı ise 2 üssü3 yani 2.2.2 = 8 elemanlıdır.
ÖZALT KÜME : Bir kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümelerine denir.
Özalt küme sayısını veren formulde 2 üssü n den 1 çıkarılarak bulunur.
3 elemanlı kümenin özalt küme sayısı 2 üssü 3 =8, 8-1 =7 dir.
G. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1. Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.
2. Birleşim İşleminin Özelikleri
A È Æ = A
A È A = A
A È B = B È A
A È (B È C) = (A È B) È C
A Ì B ise, A È B = B
A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.
3. Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.
4. Kesişim İşleminin Özelikleri
A Ç Æ = Æ
A Ç A = A
A Ç B = B Ç A
(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)
H. İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir.
İ. ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.
Tenis veya voleybol oynayanların sayısı: a + b + c
Sadece tenis oynayanların sayısı: a
Sadece voleybol oynayanların sayısı: c
Tenis oynamayanların sayısı: c + d
Voleybol oynamayanların sayısı: a + d
Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı: a + b + c
Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı: d + a + c
Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı: d
Sunum İçeriği
1. SayfaKÜMELER GEZEGENİNE HOŞ GELDİNİZ.style.visibilitystyle.visibilityppt_c
2. Sayfa
1. BölümKümenin tanımı ve gösterimiBoş kümeSonlu ve sonsuz kümeAlt küme ve özalt kümeEşit kümeler2. Bölümİki kümenin kesişimi ve birleşimiAyrık kümelerEvrensel küme ve fark kümesi3.BölümKüme problemleristyle.visibility
3. Sayfa
Küme,birbirinden ayırt edilebilen bir nesneler topluluğudur.style.visibility
4. Sayfa
Küme {...} parantezi içinde yazılarak gösterilir.Nesneler aralarına virgül konarak birbirinden ayırt edilir. Örneğin bir A kümesi A={1,2} ile gösterilirstyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_y
5. Sayfa
Ör: Aşağıdaki kümelerin elemanlarını yazınız. 1. A= ( 8 ile 16 arasındaki çift sayılar) 2. B= ( durmuş ismindeki harfler) style.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_y
6. Sayfa
Çözüm: 10, 12, 14 sayılarına “A” kümesinin elemanları denir1. A= {10,12,14} 2. B= {d,u,r,m,ş}style.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_y
7. Sayfa
Elemanlar {3,5,7} {5,3,7} ,{7,5,3}şeklinde yazılabilir,sıranın önemi yoktur. a,A kümesinin bir elemanı ise bu ifade aA şeklinde, değilse aA ile gösterilir. Elemanların birbirinden ayırt edilebilmesi için aralarına virgül koymak gerekir...style.visibility
8. Sayfa
Bir küme üç şekilde gösterilebilir: Venn şeması ileListe yöntemi ileOrtak özelik metodu ilestyle.visibilityppt_xppt_yppt_wppt_hstyle.visibilityppt_wppt_hppt_xppt_ystyle.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_yppt_wppt_hstyle.visibilitystyle.visibilityppt_wppt_hppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_yppt_wppt_hstyle.visibilityppt_wppt_hppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_yppt_wppt_h
9. Sayfa
Elemanların kapalı bir bölgede gösterilmesine Venn şeması ile gösterim,Kümenin elemanlarının {…}süslü parantezinin içine iki eleman arasına virgül koyarak yazılmasınaliste yöntemi ile gösterim,Elemanların ortak bir özellik ile önerme şeklinde yazılmasına “ortak özellik metodu”ile gösterim denir. Bunları biraz açıklar mısın?style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibility
10. Sayfa
*ç *i *e*kAVenn diyagramı ile..A={ç,i,e,k}“çiçek” kelimesindeki harflerKümesini üç yöntemle gösterelim.1.2.3.A={Çiçek kelimesindeki harfler.}style.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibility
11. Sayfa
Küme Çeşitleristyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibility
12. Sayfa
, 1*Boş Küme2*Sonlu ve Sonsuz Küme3*Evrensel küme4*Eşit küme5*Denk kümestyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
13. Sayfa
1* Bir kümenin elemanları yoksa o kümeye boş küme denir.Boş küme d ile gösterilir.style.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_y
14. Sayfa
2* Eğer kümenin elemanları sayılabiliyorsa o kümeye sonlu küme sayılamıyorsa sonsuz küme denir.style.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_y
15. Sayfa
3*1. EVRENSEL KÜME : Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. E harfi ile gösterilir.style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
16. Sayfa
4*EŞİT KÜMELER: Elemanları aynı olan kümelere eşit kümeler denir.style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
17. Sayfa
5*DENK KÜMELER: Eleman sayıları aynı olan kümelere denk kümeler denirstyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
18. Sayfa
ALT KÜME: A ve B iki küme olmak üzere, A’ nın her elemanı B ‘ nin de elemanı oluyorsa A’ ya B’ nin alt kümesi denir. veya şeklinde yazılabilir. .style.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_y
19. Sayfa
, Örnek : kümeleri denk kümelerdir.Çünkü :Örnekkümeleri eşit kümelerdir. Çünkü aynı elemanlara sahip.style.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilitystyle.visibility
20. Sayfa
1.Her küme kendisinin bir alt kümesidir.style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
21. Sayfa
2. Her küme evrensel kümenin bir alt kümesidir. style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
22. Sayfa
3. Boş küme her kümenin bir alt kümesidir. style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
23. Sayfa
4*style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
24. Sayfa
5*style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
25. Sayfa
6. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı: style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
26. Sayfa
7. Bir kümenin, kendisi dışındaki bütün alt kümelerine, bu kümenin öz alt kümeleri denirAlt kümelerinin sayısı : Öz alt kümelerinin sayısı : style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
27. Sayfa
A boş olmayan bir küme olsun. s(A)= n ise, 1.A nın alt küme sayısı 2^n dir. 2. A nın özalt küme sayısı 2^n–1 dir 3. Boş kümenin alt küme sayısı 1 dir.style.visibilityppt_xppt_y
28. Sayfa
TÜMLEYEN : Evrensel kümenin elemanlarından A’ nın elemanları çıkarılarak elde edilen kümeye A’ nın tümleyeni denir ve “A’ “ veya “ A ” ile gösterilir. style.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_y
29. Sayfa
Tümleme Özellikleri (A’)’=AE’ = style.visibilityppt_xppt_y
30. Sayfa
kümesinin kuvvet kümesi P(A) olsun. n elemanlı bir kümenin kuvvet kümesinin eleman sayısı dir .KUVVET KÜMESİ : Bir kümenin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye kuvvet kümesi denir.P(A) ={f ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} ' dir.style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilitystyle.visibility
31. Sayfa
Kümelerde işlemlerstyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilitystyle.visibility
32. Sayfa
KESİŞİM : A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B kesişim kümesi denir “ ile gösterilir. NOT : Ortak elemanı olmayan ayrık kümeler denir. style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibility
33. Sayfa
BİRLEŞİM : A veya B kümelerinin elemanlarından oluşan kümeye A ile B’ nin birleşim kümesi denir ve “ ” ile gösterilir.Burada A={1,3,4,5} ve B={1,2,5} olduğundan AÈ B={1,2,3,4,5} bulunurÖrnekstyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibility
34. Sayfa
Ör: A={-4,-3, -2,-1,0} ve B={x:-2<x<4,xZ} ise A B ve n(A B ) yi bulunuz. Çözüm:B={-1,0,1,2,3,4} dir.A ve B nin ortak elemanları, -1 ve 0. A B ={-4,…4}. n(A)=5 ve n(B)=6, n(A B ) =n(A) + n(B)-n(AB)= 5+6-2=9 olur.style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
35. Sayfa
FARK :A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A’nın elemanı olup da B’nin elemanı olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. Fark kümesi “A – B” veya “A \B” ile gösterilir.style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_wppt_hppt_xppt_y
36. Sayfa
Burada A={1,3,4,5} ve B={1,2,5} olduğundan A\B={3,4} bulunur.NOT : A \ B ¹ B \ AÖRNEKŞekle göre A\B ‘yi bulunuz.Çözümstyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
37. Sayfa
SİMETRİK FARK : A ve B herhangi iki küme olarak üzere, A – B ile B –A nın birleşimine A ile B ‘ nin simetrik farkı denir ve “ ” ile gösterilir.style.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilityppt_wppt_hppt_xppt_y
38. Sayfa
. EK KUVVET ÖZDEĞİŞME ÖZBirleşme Özelliği Dağılma Özelliği style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilitystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_wppt_hppt_xppt_ystyle.visibilityppt_wppt_hppt_xppt_ystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilityppt_wppt_hppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
39. Sayfa
Fark ve Simetrik farkla ilgili Özellikler :A \ B =A Ç B ’ = A \ (A Ç B )A \ f = AE \ A = A ‘style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y
40. Sayfa
Kombinasyonun temel teoremleri :style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_wppt_hppt_xppt_ystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibilitystyle.visibility
41. Sayfa
Ör:A ve B kümeleri için, n(AB)=4, n(A)= n(B) ve n(AB)=14 veriliyor.B nin özalt kümelerini sayısını bulunuz.Çözüm:4xxn(AB)=4 n(AB)=14 , x+4+x=14 x=5 n(B)=4+x=4+5=9B nin alt küme sayısı: 2^n –1=2^9-1=511 dir. style.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_ystyle.visibilityppt_xppt_y