Ardışık dokuz tamsayının toplamı ile çarpımı birbirine eşit olduğuna göre bu sayılardan en büyük kaçtır?
Ardışık dokuz tam sayının toplamı ile çarpımı birbirine eşit olduğuna göre bu sayılardan en büyük kaçtır sorusunun cevabı için bana yardımcı olur musunuz?
İşte Cevaplar
Ardışık dokuz tam sayının toplamı ile çarpımı birbirine eşit olduğuna göre, bu sayılardan en büyük sayının 3 olması gerekir.
İspat:
Ardışık dokuz tam sayının toplamını ve çarpımını şu şekilde ifade edebiliriz:
Toplam: (n + (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + 8) + (n + 9)) = 9n + 45 Çarpım: (n)(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5)(n + 6)(n + 7)(n + 8)(n + 9) = n^9 + 9n^8 + 36n^7 + 84n^6 + 126n^5 + 126n^4 + 84n^3 + 36n^2 + 9n + 1
Bu iki ifadeyi eşitlediğimizde aşağıdaki denklemi elde ederiz:
9n + 45 = n^9 + 9n^8 + 36n^7 + 84n^6 + 126n^5 + 126n^4 + 84n^3 + 36n^2 + 9n + 1
Bu denklemi çözdüğümüzde aşağıdaki sonucu elde ederiz:
n = 3
Bu nedenle, ardışık dokuz tam sayının en büyüğü **n + 8 = 3 + 8 = ** 11 'dir.
Alternatif ispat:
Ardışık dokuz tam sayının toplamı ile çarpımının birbirine eşit olması için, bu sayıların toplamının, çarpımına bölen bir tam sayı olması gerekir. Bu durumda, bu sayıların toplamı, çarpımının kareköküne eşit olmalıdır.
(n + (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + 8) + (n + 9)) = 9n + 45
(9n + 45)^1/2 = n^9 + 9n^8 + 36n^7 + 84n^6 + 126n^5 + 126n^4 + 84n^3 + 36n^2 + 9n + 1
Bu iki ifadeyi eşitlediğimizde aşağıdaki denklemi elde ederiz:
9n + 45 = n^9 + 9n^8 + 36n^7 + 84n^6 + 126n^5 + 126n^4 + 84n^3 + 36n^2 + 9n + 1
Bu denklemi çözdüğümüzde aşağıdaki sonucu elde ederiz:
n = 3
Bu nedenle, ardışık dokuz tam sayının en büyüğü **n + 8 = 3 + 8 = ** 11 'dir.
Diğer Cevaplara Gözat
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 362,880
Görüldüğü gibi, 9 ardışık tam sayının toplamı (45) ile çarpımı (362,880) birbirine eşit değildir. Dolayısıyla, bu durum mümkün değildir ve soruda verilen koşul sağlanmamaktadır.