Sunum İçeriği

Bernoulli DağılımıBernoulli dağılımı bir rassal deney yapıldığında yalnızca iyi, kötü, olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız gibi sadece iki sonuç elde edildiğinde kullanılır.Tanım : Bir rassal deney yapıldığında bir deneyin sonucu sadece iki sonuç içeriyorsa bu deneye Bernoulli deneyi denir.Bernoulli deneyinde iki sonuç olduğuna göre, ilgilenilen sonuç elde edildiğinde bu sonuca başarı densin ve x=1 ile gösterilsin. Diğer sonuç elde edildiğinde de o sonuca başarısız densin ve x = 0 şeklinde ifade edilsin. Bu durumda, x rassal değişkenine Bernoulli değişkeni denir. Bir deneyin başarılı sonuçlanma olasılığa p ise, x rasal değişkeninin olasılık fonksiyonu şöyledir.Bu dağılıma Bernoulli dağılımıve X’e de Bernoulli değişkeni adı verilir. Bernoulli dağılımının tek bir parametresi vardır; o da p’dir.M(t) = E(etx) = = olarak bulunur.Bernoulli Dağılımının Aritmetik Ortalama ve VaryansıBirinci momentte t = 0 değeri konursa E(X) bulunur. M'(t) = p etM'(0) = pE(X) = pbulunur. İkinci momentte t = 0 konursa E(X2) değeri bulunur ve elde edilir. bulunur. E(X) ve V(X) beklenen değer tanımından gidilerek de bulunabilirdi.Örnek : Bir otomobil sürücüsünün yarışı kazanma olasılığı 0,7 ve kazanmama olasılığa 0,3’tür. bu otomobil yarışmacısı için olasılık fonksiyonu yazıp, E(X) ve V(X)’i bulunuz.ÇÖZÜM : X rassal değişkeni sürücünün yarışı kazandığı zaman 1 değerini, kazanmadığı zaman 0 değerini alan bir Bernoulli değişkenidir. O zaman olasılık fonksiyonuBİNOM DAĞILIMI (İKİ TERİMLİ DAĞILIM)Bernoulli dağılımında deney bir kez yapılıyor ve olumlu veya başarılı sonuçla ilgileniyordu. Eğer deney bir defa değil, n defa peş peşe birbirinden bağımsız olmak üzere tekrarlandığında yine olumlu veya başarılı sonuçla ilgileniyorsa, Bernoulli dağılımının özel bir genel hali ortaya çıkar ve bu dağılıma Binom dağılımı denir.Binom dağılımının kullanım alanı oldukça geniştir. Binom dağılımından yararlanmak isteniyorsa aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir. Rassal deney aynı koşullar altında n defa tekrarlanmalıdır.Her deneyin olumlu-olumsuz, evet – hayır, beyaz – beyaz değil, iyi – kötü, gibi iki olanaklı sonucu olmalıdır.Bir deneyde arzu edilen sonuç elde etme olasılığı p ve arzu edilmeyen sonuç elde etme olasılığı olan 1 – p = q, bir deneyde ötekine değişmemelidir. Bir başka ifade ile p ve q, n deney için sabit olmalıdır.Her deney birbirinden bağımsız olmalıdır. Yani, bir deneyin sonucu, diğer deneylerin sonuçları üzerinde etkili olmamalıdır.Bu dört koşulun sağladığı n tane Bernoulli deneyinde rassal değişken X’in alacağı değerler, karşılaşılan olumlu sonuç sayısına bağlı olarak (0, 1, 2, .....,n)ortaya çıkacaktır.İki olanaklı sonucu olan bir deney ayrı koşullar altında n defa tekrarlansın. Deneylerden herhangi birinde istenen sonucu elde etme olasılığı p, istenmeyen sonucu elde etme olasılığı da q = 1 – p olsun. Deneyler birbirlerinden bağımsız olduklarında X = 1 istenen ve X = 0 da istenmeyen sonucu göstermek üzere P{ilk x deney X=1, kalan n – x X = 0}60642520193000= p.p......p. (1– p). (1– p)....... (1– p) x tane n-x tane= olur. n deneyde x kez istenen sonuç elde etme olasılığa aranıyorsa, bundan belli bir sıranın gözetilmediği anlaşılmalıdır. Bu ise kombinasyon kavramı ile bulunabilir. Her bir istenen sonucun ortaya çıkma olasılığa olduğuna göre, n deneyde x istenen sonucun elde edilmesi şeklinde yazılabilir.Tanım : X rassal değişkenlerinin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi olsun.Olasılıkların binom açılımındaki terimlerden oluşması nedeniyle, yukarıdaki dağılıma binom dağılımı, olasılıkları veren fonksiyona binom olasılık fonksiyonu, sayılarına binom kat sayıları ve böyle bir dağılıma sahip değişkene de binom rassal değişkeni denir. Binom dağılımı B(x; n,p) veya B(n, p) şeklinde de gösterilir.Tek bir deneyde istenen sonuç p se deney n kez tekrarlandığında x kez istenen sonucu elde etme olasılığınıfonksiyonu veriyorsa, başarı sayısını gösteren X rassal değişkeni bir binom dağılıma sahiptir denir. Aslında, n ve p’nin alabileceği değerlere göre sayısız binom dağılımı vardır. Bu nedenle binom dağılımını belirleyen n ve p değerleri, aynı zamanda bu dağılımın parametrelerdir. p = q durumunda binom dağılımı simetrik olup, p q için simetriden uzaklaştırılır n sabit kaldığında p 0,5 için ve p sabit kaldığında n için dağılır, simetriye yaklaşır.Binom dağılımında yer alan binom katsayıları ’in, deney sayısı n arttıkça hesaplanması zorlaşır. Bu nedenle, n ve p’nin değişik değerlere göre hazırlanmış tabloları vardır ve onlardan yararlanılır.Binom Dağılımının Moment Çıkaran FonksiyonuBinom Dağılımının Aritmetik Ortalama ve VaryansıBinom dağılımının aritmetik ortalaması ve varyansı değişik yaklaşımlarla bulunabilir.a. Moment Çıkaran Fonksiyondan GidilerekBinom dağılımının moment çıkaran fonksiyonuolarak bulunmuştu. M(t)’nin birinci ve ikinci türevleri şöyledir.Bu türevlerde t yerine sıfır değeri konulursa (t = 0), ve olacağından olur. olduğundan elde edilir.b. Bernoulli Deneylerine Bağlı Olarak y bir Bernoulli değişkeni olsun. E(y) = p olduğu biliniyor. X istenen sonucu gösterdiğine göre n düzeydeki istenen sonuçların sayısı olacaktır. O zamann tane deney bağımsız olduğundan, beklenen değerin özelliklerinden yararlanarak elde edilir. Aynı şekildeyi’ler bağımsız olduğundan özelliğine göreUygulamada, p’nin tahmininden başka bir şey olmayan x/n istenen sonuç oranı ile daha çok ilgilenir. Bu oranın beklenen değeri ve varyansı, beklenen değer ve varyans özelliklerinden gidilerek kolaylıkla bulunabilir.Örnek : Bir para 64 kez atılsın. Bulunan turaların sayısının ortalanması ve standart sapmasını bulunuz.Çözüm : X rasgele değişkeni bir paranın 64 kez atılışındaki turaların sayısı olsun. o halde, binom dağılımına sahiptir. Bu nedene sırasıylaÖrnek : Bir basketbol oyuncusunun, topu basket yapmasının ortalaması 0,25’tir. Her atışın bir diğerinden bağımsız olduğu varsayımı altında, yapılan bir maçta bu oyuncu dört defa atış yaparsa,Bir tanesinde başarılı olmaEn az bir tanesinde başarılı olma olasılıklarını bulunuz.Çözüm : X, topun potaya girme olayını göstersinP = ¼ ve n = 4 olduğuna göre Örnek : Üniversiteye giren öğrencilerin %40’ının eğitimlerini tamamlayamadıkları bilinmektedir. Rassal olarak 6 öğrenci seçildiğinde, bunların yarısından fazlasının eğitimlerini tamamlamasının olasılığı nedir?Çözüm : X eğitimlerini tamamlayan öğrencileri göstersin.P = 1 – 0,40 = 0,60’dır. Örnek : X rassal değişkenlerinin moment çıkaran fonksiyonu olarak verildiğine göre ve olasılıklarını bulunuz.X’in beklenen değeri ve varyansını bulunuz.Çözüm :M(t), bir binom dağılımın moment çıkaran fonksiyonudur. Bu durumda p = 1/3, q = 2/3 ve n = 4’tür.a. b. GENELLEŞTİRİLMİŞ BİNOM DAĞILIMI (Çok Terimli Dağılım)Binom dağılımı yalnızca iki olanaklı sonuca dayalı birbirinden bağımsız n tane deney için geçerli idi. Bu kez bir deneyde ile gösterilen ayrık sonuçların elde edildiğini düşünelim. Deney a kez tekrarlandığında her bir Ei’nin (i = 1,2,.......,k) elde ediliş sayısının ortak dağılımı çok terimli dağılımdır. Çok terimli dağılım binom dağılımının genelleştirilmesidir.Tanım : (Çok terimli rasgele değişken) deneyin ayrık sonuçları olsunlar. rasgele değişkeni n bağımsız denemede her bir Ei’nin elde ediliş sayısı ve tek bir denemede Ei’nin olasılığı Pi(i=1, 2,.....,k) olsun. Bu takdirde () rasgele değişkenine çok terimli rasgele değişken denir.Örnek : Bir zar atılsın. X1, 1’in, X2, 2’nin,...... X6, 6’nın elde ediliş sayısı olsun. () çok terimli değişkendir.Teorem : (Çok Terimli Dağılım) Bir tek denemede Pi olasılıklarını (i = 1,2,.......,k) ile n bağımsız denemeden oluşan bir deney için çok terimli rasgele değişken ise nin ortak olasılık dağılımı aşağıdaki fonksiyonu ile verilir. ’dir. Bu dağılıma çok terimli dağılım denir.İspat : n bağımsız denemede belli bir sırada E1’in x1 kez E2’nin x2 kez,.....Ek’nın xk kez elde edilme olasılığı ’dır.Olayların herhangi bir sırada elde edilmesi ile ilgilendiğimizden buradaki ayrık yolların sayısı ’dir.Bu yüzden olmak üzere (x1, x2,..... xk) rasgele değişkeninin ortak olasılık fonksiyonuTeoremdeki olasılık fonksiyonu ’nin çok terimli açılımındaki genel terim olduğundan bu olasılık dağılımına çok terimli dağılım denir.k = 2 için fonksiyon binom dağılımına indirgenir.Örnek : Bir zar oniki kez atılsın. İki kez bir, üç kez iki, bir kez üç, iki kez dört, üç kez beş, bir kez altı gelme olasılığı nedir?Çözüm : rasgele değişken ile bir zar on iki kez atıldığında bir, iki, üç,...... altının kaç kez elde edildiğini bulalım. Buna göre çok terimli dağılımına sahiptir.Buna göre ve n = 12Teorem gereği : Teorem : (X1, X2,.....Xk) rasgele değişkeni çok terimli dağılıma sahip olsun. Bu takdirde ve Örnek : Bir bölgesini kişiler, çalışmayanlar, iş verenler, ücretli çalışanlar ve kendi hesaplarına çalışanlar olmak üzere dört gruba ayrılmışlardır. Bu bölgede yaşayan 100 kişi ele alınmış ve bunlardan 30 kişinin işveren, 40 kişinin ücretli çalışan, 10 kişinin kendi hesabına çalışan olduğu ve 20 kişinin de çalışmadığı ortaya çıkmıştır. Dağılımın olasılık fonksiyonunu bulunuz.Bu bölgeden 8 kişi ele alındığında 3 kişinin işveren 2 kişinin ücretli çalışan olmasının ve 3 kişinin de çalışmamasının olasılığınım bulunuz.Bu çok terimli dağılımın aritmetik ortalamasının varyansını ve moment çıkaran fonksiyonunu bulunuz.Çözüm :X1 = Seçilen işveren sayısıX2 = Seçilen ücretli sayısıX3 = Seçilen çalışmayanların sayısıX4 = Seçilen kendi hesabına çalışanların sayısı olsunDağılım fonksiyonu, olmak üzere şeklinde yazılır.b. n = 8 ve sırası ile ’ün meydana gelme olasılıklarını göstersin. O zaman ve x1 = 3, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 0 olur.İstenen olasılıkşeklinde elde edilir.c. olduğundanbulunur. Bunlara ilişkin varyanslar da şöyledir.Moment çıkaran fonksiyon ise olarak elde edilir.GEOMETRİK DAĞILIMArka arkaya n kez tekrarlanan bir Bernoulli deneyi ele alınsın ve ilk istenen sonucun elde edilmesi için yapılan deney sayısı X olsun. X’e geometrik rassal değişken denir. Binom dağılımında deney sayısı sabit, istenen sonuçların sayısı bir rassal değişken iken; geometrik dağılımda istenen sonucun sayısı bire eşit olmak üzere bir sayı, deneylerin sayısı ise bir rassal değişkendir.Örneğin, hedefe atış yapan bir nişancının hedefi ilk kez vurması için gereken atış sayısı, bir para yazı gelinceye kadar atıldığında ilk yazı gelene kadar yapılan denemelerin sayısı vb. birer geometrik rassal değişkendir.Tanım : İlk (x – 1) deneyin istenen sonucu vermemesi ve x’inci deneyin istenen sonucu vermesi durumunda geometrik dağılım şöyle tanımlanır :İspat : İlk başarının elde edilmesi için gerekli denemelerin sayısı x = 1, 2, 3,..... ve ilk başarıdan önceki başarısızlıkların sayısı (x- 1) olsun. Örneğin ilk yazı gelene kadar yapılan denemelerde TTTY şeklindeki gösterimde TTT (x – 1), y x olur.O halde başarının takip ettiği dizinin olasılığı Buradan;= p(1 + q + q2 + .....)Örnek : 4 elde edinceye kadar bir zarı atalım.Bağımsız atışlar dizisinde ilk 4’ün elde edilmesi için gereken atışların sayısının olasılık fonksiyonu2. denemede 4 bulma olasılığını bulunuz.Çözüm : İlk 4’ün elde edilmesi için gereken atışların sayısı X rasgele değişkeni olsun. bu takdirde, olmak üzere, X geometrik dağılıma sahiptir.X’in olasılık fonksiyonu2. Atışta 4 elde etme olasılığı,X Rasgele Değişkeninin Dağılım Fonksiyonuelde edilir. Buna göreGeometrik Dağılımın Moment Çıkaran FonksiyonuMoment çıkaran fonksiyonun tanımından hareket edilirse, ilk terimi etq olan bir geometrik serinin toplamıdır. olduğu için bu geometrik serinin toplamı da ifadesine eşittir. Bulunan bu değer yerine konulursa elde edilir.Geometrik Dağılımın Beklenen Değer ve Varyansıa. Beklenen değer tanımından elde edilir.Varyansı; eşitliğinden yararlanarak bulabiliriz.bulunur. Böylece elde edilir.b. Moment çıkaran fonksiyon yardımı ile de E(X) ve V(X) elde edilebilir.Örnek : Bir tavla zarını 6 elde edinceye kadar atalım.İlk 6’nın elde edilmesi için gereken atış sayısının olasılık ve dağılım fonksiyonlarını3. Atışta 6 bulma olasılığını6 elde etmek için gerekli atış sayısının beklenen değerini ve varyansını bulunuz.Çözüm : Örnek : Bir atıcının her atışta hedefi vurma olasılığı ’tür. Arka arkaya yapılan atışlar sonucunda hedefi ilk kez vurması için gereken atış sayısı X olduğuna göre;Hedefi ilk kez üçüncü atıştaHedefi ilk kez en çok dördüncü atışta vurma olasılıklarını hesaplayınız.Hedefte ilk vuruşu elde edinceye kadar, atıcı ortalama olarak kaç atış yapmalıdır?Çözüm :NEGATİF BİNOM DAĞILIM (PASCAL BİNOM DAĞILIMI)Geometrik dağılımda istenen şey, bağımsız Bernoulli deneylerinde, ilk başarının elde edilmesi için gerekli deney sayısını belirlemekti. Eğer ilk başarı değil de k tane başarı elde edilmesi söz konusu ise, geometrik dağılımın genelleştirilmiş hali olan Pascal dağılımını kullanmak gerekir.Bir deneyde k sayıda başarı elde edinceye kadar devam edilsin. k başarının elde edilmesi için gerekli deneylerin sayısı, X rassal değişkeni ile gösterildiğinde, X rassal değişkenine Pascal rassal değişkeni denir.Örneğin bir parayı 6 tura elde edinceye kadar art arda attığımızda 6 tura bulmak için gerekli atış sayısı pascal dağılımını gösterir.Olasılık Fonksiyonu : Bir deneyde istenen sonucun meydana gelmesi olasılığına p, istenen sonucun meydana gelmemesi olasılığına 1 – p ve istenen sonucun elde edilme sayısına da k densin. X, k’nın meydana gelmesi için gerekli deney sayısını gösteren bir rassal değişken olduğunda, olasılık fonksiyonu şöyledir. :Bu olasılık fonksiyonu k ve p değerlerine gere değiştiğinden dolayı, k ve p pascal dağılımının parametreleridir. İspat : k 1 başarının gerçekleşmesi için gereken denemelerin sayısı olsun (k – 1) başarı veren denemelerin sayısını (x – 1) alalım. k ve x için A ve B sayılarını düşünelim.A = {ilk x-1 denemede k-1 başarı}B= {x’inci denemede başarı}Denemeler birbirinden bağımsız A ve B olayları bağımsızca P(B) = p’dir.89725525019000f(x) = P(A).P(B) olur. buradan x’inci deney(x – 1).inci deneySonuç olarak, x= k,k+1,........ elde edilir.Örnek : Bir zar atılasın. 6. Atışta .2. kez 4 gelme olasılığı nedir_Çözüm : x = 6, k=2 ve olmak üzereP(6. atışta 2. kez 4 elde etme) = olur.Pascal Dağılımının Moment Çıkaran FonksiyonuPascal dağılımının moment çıkaran fonksiyonu şu şekilde bulunur. olduğundan=moment çıkaran fonksiyondan yaralanarak beklenen değer ve varyansı elde ederiz.Pascal Dağılımının Beklenen Değer ve VaryansıPascal dağılımının beklenen değeri geometrik dağılımları moment çıkaran fonksiyon, beklenen değer ve varyans tanımlarından da bulunabilir. Biz beklenen değer tanımından giderek bulalım.Varyans da olduğundan Gerekli işlemler yapıldığındaMoment çıkaran fonksiyondan yararlanarak beklenen değeri ve varyansı bulalım.Binom Dağılımı ve Negatif Binom Dağılımı Arasındaki İlişkiX rassal değişkeni bir Binom dağılımına ve Y rassal değişkeni de bir Negatif Binom dağılıma sahip olsun.Eşitliğin anlamı şudur. İlk n deneydeki başarı sayısı k’ya eşit veya daha büyükse, ilk k başarıyı elde etmek için gerekli olan deney sayısı n’e eşit veya daha küçüktür.Eşitliği de; ilk n deneydeki başarı sayısı k’dan küçükse, k başarıyı elde etmek için n’den çok deney gerekir anlamına gelir.Örnek : Bir atıcının her atışta hedefi vurma olasılığı sabit olup ¾’e eşittir. 10 kere hedefi vurabilmek için gerekli olan atış sayısı x rassal değişkeni gösterdiğine göre, x’in olasılık fonksiyonunu yazınız.7 kere hedefi vurabilmek için 9 atış yapma ve en çok 12 atış yapma olasılıklarını bulunuz.Çözüm :k = 10 olduğundanÖrnek : Bir ev kadınının reçel yapmak için 10 tane sağlam şeftaliye ihtiyacı vardır. Elinde bulunan bir sandık şeftalinin ’ü çürüktür.x sağlam şeftalileri elde etmek için gerekli deney sayısını gösterdiğine göre x’in olasılık fonksiyonunu bulunuz.İhtiyacını karşılamak için sandıktan 20 şeftali seçerse, 10 tanesinin sağlam olma olasılığı nedir?Çözüm : sağlam şeftali seçme olasılığı çürük şeftali seçme olasılığıHİPERGEOMETRİK DAĞILIMİçinde iki çeşit nesne bulunan sonlu sayıda öğeden oluşan bir kitle düşünelim. Tekrar yerine koymaksızın ardışık olarak sabit büyüklükte bir örneklem çekimi yaptığımız takdirde hipergeometrik dağılımı kullanırız. Hipergeometrik dağılımı aşağıdaki üç koşul sağlandığı takdirde kullanırız. Bir deney iki olanaklı sonuca sahipseDeneyin tekrarlanma sayısı sabitseDeneyler bağımlı iseHipergeometrik Rasgele Değişken : Sonlu sayıda N öğeden oluşan bir kitlede N1 ilgilendiğimiz, N2 ilgilenmediğimiz sonuçların sayılarını göstersin. Rasgele n tane öğe seçelim. X bu n tane içindeki ilgilenilen sonuç sayısını göstersin. X’e rasgele hipergeometrik değişken denir.179705138430Seçilen n öğelik grupN1 birimden oluşan örneklem00Seçilen n öğelik grupN1 birimden oluşan örneklemÖrnek :Bir eczanede 50 kutu Aspirin 100 kutuda vermidon hapı vardır. Karışık kolilenmiş olan kutulardan kolinin üstünden yerine koymaksızın 10 kutu hap seçiyoruz. X rasgele değişkeni seçilen aspirin sayısıdır.Bir yarışma programı için 3 milyon tane telefon numarası belirleniyor. Bunlardan 2 milyonu ev, 1 milyonu işyeri telefonudur. 50 tane numara seçiliyor. Aranan numaralar içinde ev telefonu sayısı?Hipergeometrik Olasılık FonksiyonuN birimlik canlı bir örneklem uzayı alalım; N1 tanesinin sonucu ile ilgilenelim. N2 tanesiyle ilgilenmeyelim. N = N1 + N2. Bu örneklem uzayında n birimlik bir grup iadesiz olarak çekilsin. x n uzayı ilgilenilen sonuçlar olsun. x = 0,1,...........n içinÖrnek :Bir kutuda 3 kusurlu 7 kusursuz parça vardır. Tekrar yerine koymaksızın 3 parça çekiliyor. Çekilen kusurlu parçaların sayısının olasılık fonksiyonunu bulunuz.Çözüm :X rasgele değişkeni çekilen kusurlu parçaların sayısı olsun. O halde, N = 10, n = 3 ve x = 0,1,2,3’dir. Bu nedenle denklemden yararlanarak0,1,2 ve 3 kusurlu parça sayısına karşılık gelen olasılıklar sırasıylaX0123(X=x)X’in hipergeometrik dağılım tablosuÖrnek : İçinde 4’ü siyah, 2’si kırmızı olmak üzere 6 top bulunan bir torbadan, 2 tane top iadesiz olarak çekilmiştir. X rassal değişkeni çekilen siyah top sayısını gösterdiğine göre;X’in olasılık fonksiyonunu yazınızÇekilen toplardan hiçbirisinin siyah top olmama olasılığı En az bir tanesinin siyah top olma olasılığını bulunuz.Çözüm :Torbada 4 siyah top bulunduğuna ve torbadan da toplam 2 tane top çekilebileceğine göre X’in alabileceği değerler 0,1 ve 2 olacaktır. O zaman olasılık fonksiyonu Örnek : İş için başvuran her 10 adaydan 6’sının üniversite mezunu olduğu bilinmektedir. Rassal olarak seçilen 4 aday arasındanÜçününEn çok üçünün üniversite mezunu olma olasılığını bulunuz.Çözüm:X rassal değişkeni üniversite mezunlarını göstermek üzere ve seçilenler iadesiz olduğuna göre olasılık fonksiyonu şöyledir. bulunur.Örnek : Vergi beyanında bulunanlardan 15 kişinin dosyası seçilerek Maliye Bakanlığı’nın kontrol memurları tarafından inceleniyor. Bu dosyalardan 10 tanesinde yanlışlık bulunuyor. Rassal olarak alınacak 4 dosyanınYalnızca bir tanesinin,Hepsinin yanlış beyanlı dosya olma olasılığını bulunuz.Çözüm :Seçim iadesiz yapılacağından, bu problemin olasılık fonksiyonunu, X rassal değişkeni olmak üzere aşağıdaki gibi olacaktır. bulunur.GENELLEŞTİRİLMİŞ HİPERGEOMETRİK DAĞILIMHipergeometrik dağılımda, ana kütledeki birimler N1 ve N2 olmak üzere (N1+N2= N) iki gruba ayrılıyor ve iadesiz olarak birim seçme yoluna gidiliyordu. Eğer ana kütledeki birimlerinin iki değil de k tane gruba ayrıldığı düşünülürse, genelleştirilmiş hipergeometrik dağılıma geçilir.Bir deneyin birbiri ile bağdaşmayan k olanaklı sonucu varsa, deney n kez tekrarlandığında koşullar değişiyorsa, x1 kez s1 ; x2 kez, s2 ; xk kez, sk sonuçlarını alma olasılıkları genelleştirilmiş hipergeometrik dağılım tarafından bulunabilir ve şu şekilde tanımlanır.Tanım : Genelleştirilmiş Hipergeometrik Olasılık Fonksiyonu şeklinde tanımlanır.ÖRNEK :İçinde 3 kırmızı, 4 siyah ve 3 tane de yeşil top bulunan bir torbadan iadesiz yöntemle 3 top seçiliyor.İki tanesinin yeşil top olması,Birinin yeşil, birinin siyah olması ve birinin de kırmızı olması,Birinin siyah, ikisinin de kırmızı top olma olasılıklarını bulunuz.ÇÖZÜM :X, seçilecek yeşil topların sayısını gösteren rassal değişken olsun. O zaman, torbadaki topların yeşil olanlar ve olmayanlar diye ayırarak, hipergeometrik dağılımdan yararlanılabilir. bulunur.Bu durumda genelleştirilmiş hipergeometrik dağılımı kullanılır.c) bulunur.POISSON DAĞILIMIEn çok kullanılan dağılımlardan birisidir. Küçük olasılıklar dağılımı da denir. Belli ve çok dar bir zaman aralığında az rastlanan olaylar bu tür dağılım gösterirler. Örnek : Boğaziçi köprüsünde meydana gelen günlük kazaların sayısı, verilen belirli bir zamanda bir şirkete yapılan sigorta isteği sayısı, bir havaalanından her saat kalkan ve inen uçakların sayısıBu dağılımda zaman çok küçük parçalara bölündüğünden bu zaman içinde yalnızca bir olay ya gerçekleşir yada gerçekleşmez. Binom dağılımı n tane deneydeki başarı sayısı ile ilgilenirken, bu dağılım belirli bir aralıktaki ilgilenilen sonucun sayısı ile uğraşır.Poisson dağılımının kullanılması için şu koşullar gerçekleşmelidir.İki ayrık zaman aralığında (yada uzayda) ortaya çıkan olaylar birbirinden bağımsızdır.Tanımlanan aralıkta (yada uzayda) ilgilenilen olayın ortaya çıkma olasılığı sabit olup, değişmemektedir.Poisson Dağılımı :x rassal değişkeni yukarıdaki özellikleri taşıyorsa x’e poisson rassal değişkeni ve x’in fonksiyonuna da poisson dağılımı denir. > 0 olmak üzerePoisson dağılımının bir olasılık fonksiyonu olduğunu kolayca görebiliriz. Olasılıklar toplamı :Örnek : Türkiye’de maden ocaklarınca oluşan kazalar sonucunda her yıl ortalama olarak 1000 işçiden bir tanesi hayatını kaybetmektedir. 2000 maden işçisinin çalıştığı bir maden ocağında, bir yıl içindeHiçbir işçinin3 işçinin2’den fazla işçinin hayatını kaybetme olasılıklarını bulunuz.Çözüm : n = 2000 ve p = 0,001 olduğundan = np = 2 elde edilir. Örnek : Bir milimetre sıvıdaki bakteri sayısı ortalama olarak 4 olduğu bilinmektedir. Bakterilerin sayısının Poisson dağılımı gösterdiği kabul edilerek 1 milimetrede Hiç bakteri olmaması4 bakteri olması3’den az bakteri olması olasılıklarını bulunuz.Çözüm :Poisson Dağılımının Moment Çıkaran Fonksiyonu Poisson Dağılımının Beklenen Değer ve VaryansıMoment çıkaran fonksiyon yardımıylaBuradan da = + 2 - 2 = * Beklenen değer tanımından Buradan da Binom Dağılımına Yaklaşık Olarak Poisson DağılımıBinom dağılımının olasılık fonksiyonunu göz önüne alalım.kabul edelim ki n yeter derecede büyük ama p küçüktür. Öyle ki np büyük değildir. Pn(x) =np olduğunu daha önce görmüştük. O haldeYazılabilir. Kısaltmalardan sonra bu olasılıkOlarak yazılır. P küçükse, n büyükse, np büyük değilse aşağıdaki yaklaşık eşitlikler elde edilir.O halde,bulunur. Bu son eşitlikten görüldüğü gibi binom dağılımındaki P(x) olasılıkları = = np ortalamalı Poisson dağılımının olasılıkları yaklaşık olarak eşittir.n 20 ve p 0,05 iken n denemedeki x başarı olasılığı poisson dağılımı ile yaklaşık olarak hesaplayabiliriz. n 100 ve np 100 olduğunda bu yaklaşım çok iyidir. Poisson formülünü kullanmak, binom formülünü kullanmaktan daha kolaydır. n = 20 ve p = 0,05 olan binom dağılımını düşünelim. Binom dağılımı için = np = 20.(0,05) = 1’dir.Binom dağılımına poisson yaklaşımı kullanılırsa elde edilecektir. Verilen değerler için binom ve Poisson olasılıklarını karşılaştırmak üzere aşağıdaki tabloyu vereceğiz.BAŞARI SAYISI (X)BİNOM OLASILIKLARIPOİSSON OLASILIKLARI00,3580,36810,3770,36820,1890,18430,0600,05140,0130,01550,0020,00360,0000,001NOT : 6’dan çok başarı elde edilebilir, fakat başarı olasılıkları 0,0005’ten küçüktür.Örnek : X tesadüfi değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki biçimde verilmiş olsun.Moment çıkaran fonksiyonuMoment çıkaran fonksiyon yardımıyla varyansınıP(X=1), P(X<2), P(X 4), P(X < 1 / X<3) olasılıklarını bulunuz.Çözüm :=5,25-0,25=5=Örnek : Bir fabrikada depolanan ürünlerin yüzde birinin bozulduğu bilinmektedir. Bu fabrikadan rassal olarak seçilen 50 birimden bir tanesinin, en fazla bir tanesinin, en az dört tanesinin olasılıklarını Binom dağılımı ilePoisson dağılımı ile bulunuz.Çözüm : İstenen olasılıklar, X rassal değişkeni seçilen birimin bozuk olmasını göstermek üzere şöyledir.P(X =1), P(X 1), P(X 4)Binom dağılımı ilep = 0,01 ve n = 50 olduğundanolarak yazılır. Kabul etmek gerekir ki, bu olasılıkların hesaplanması oldukça karmaşık ve zordur. Bundan dolayı aynı hesaplamalar Poisson dağılımı ile daha kolay bir şekilde bulunabilir.p = 0,01 ve n = 50 ise = np = 0,5’dir.DÜZGÜN DAĞILIM (UNIFORM)Kabul edelim ki bir deney tümü eşit olasılıklı N ayrık sonuç versin. Bu tipte deneyleri beşinci bölümde düşünmüştük.(para atılması, zar yuvarlanması, kart çekimi gibi)Tanım (Kesikli düzgün rasgele değişken) : X rasgele değişkeni tümü eşit olasılıkla N sonuca sahipse, X’e kesikli düzgün rasgele değişken denir.Örnek : Aşağıdaki deneyler rasgele değişkenlerle ilgilidir.Bir parayı bir kez atalım, x = 0 yazı gelmesi sonucunu, x = 1 tura gelmesi sonucunu göstersin. Burada X kesikli düzgün rasgele değişkendir.Bir zar atılsın. Bu takdirde, X “üste gelen sayı” kesikli düzgün rasgele değişkendir.52’lik bir desteden bir kart çekelim. O halde x “çekilen herhangi bir kart” kesikli düzgün rasgele değişkendir.Tanım (Kesikli düzgün dağılım) : X rasgele değişkenin alabileceği değerler x1, x2,.....,xn olsun. X’in olasılık fonksiyonu’dir. Bu dağılıma, kesikli düzgün dağılım denir.Örnek : Bir para bir kez atılıyor. Turaların sayısının dağılımı nedir?Çözüm : Bir para bir kez atıldığında turaların sayısı X olsun. Bu takdirde x kesikli düzgün dağılıma sahiptir.Örnek : Bir zar atılsın. Üst yüzde gösterilerek sayının olasılık dağılımı nedir?Çözüm : X rasgele değişkeni zar atıldığında üstte görülecek sayı olsun.O halde x kesikli düzgün dağılıma sahiptir.Teorem : X rasgele değişkeni kesikli düzgün dağılıma sahip olsun. Kesikli düzgün dağılımın ortalaması ve varyansı ve’dır.Örnek : Bir otomobil sürücüsünün yarışı kazanma olasılığı 0,7 ve kazanmama olasılığa 0,3’tür. bu otomobil yarışmacısı için olasılık fonksiyonu yazıp, E(X) ve V(X)’i bulunuz.ÇÖZÜM : X rassal değişkeni sürücünün yarışı kazandığı zaman 1 değerini, kazanmadığı zaman 0 değerini alan bir Bernoulli değişkenidir. O zaman olasılık fonksiyonuÖrnek : Bir madeni para 10 kez atılıyor.6 tane yazı, 4 tane tura gelmesi olasılığıEn az 6 kez yazı gelmesi olasılığıYazı sayısının beklenen değer ve varyansını bulunuz.Çözüm := 0,205 + 0,0,219 + 0,00976 + 0,00049= 0,237Örnek : İstatistik dersinin sınavında, test yöntemi ile yapmak üzere 10 soru sorulmuştur. Her bir soru için, içlerinden sadece biri doğru olan beş şık verilmiştir. Sınavda cevapları rassal olarak işaretleyen bir öğrencininBütün soruları doğru işaretlemeBütün soruları yanlış işaretlemeTam beş tane soruyu doğru işaretleme olasılıklarını bulunuz.Çözüm : Doğru işaretleme olasılığı = Yanlış işaretleme olasılığı = ve soru sayısı da n = 10’dur.X, rassal değişkeni doğru işaretlenen soru sayısı olsun.=0,026Örnek : Bir garsonun bir günde yere düşürdüğü tabakların sayısı ortalama olarak 3’tür. Bu garsonun bir gündeEn fazla 4 tabak düşümeEn az dört tabak düşürme olasılıklarını bulunuz.Çözüm : E(x) =3 olduğuna göre poisson dağılımında da E(x) = bilindiğinden = 3 olarak bulunur. X rassal değişkeni yere düşürülen tabakları göstersin.= 0,3526Örnek : Büyük bir şirketin telefon santrali, sabah 9:00 – 12:00 çalışıyor. Belli bir dakikalık süre içinde santrale gelen telefonların sayısının poisson dağılımına uyduğu gözlenmektedir. Bu durumda, herhangi bir dakikada santrale gelen telefon sayısınınSıfır olmaEn az iki olmaEn iki en fazla beş olma olasılığını bulunuz.Çözüm : X bir dakikalık süre içinde santrale gelen telefonların sayısını göstersin. Bir dakikalık süre içinde santrale gelen telefonların sayısının beklenen değeri= 0,0183 + 0,0732= 0,0915(= 0,1464+0,1951+0,1951+0,1561= 0,6927Örnek : Bir torbada 7 sarı, 5 mavi, 3 mor ve 8 tane de kırmızı bilye bulunsun. Bu torbadan yerine koymaksızın art arda 10 tane top çekiliyor.Çekilen topların 3’ünün sarı, 1’nin mavi, 2’sinin mor, 4’ünün kırmızı olma olasılığı nedir?Bu çok terimli dağılımın aritmetik ortalamasını, varyansını ve moment çıkaran fonksiyonunu bulunuz.Çözüm : x1 : seçilen sarı top sayısıx2 : seçilen mavi top sayısıx3 : seçilen mor top sayısıx4 : seçilen kırmızı top sayısı olsun. (x1, x2, x3, x4) tesadüf, değişkeni çok terimli dağılım gösterir.n = 10 ve P1, P2, P3, P4 sırasıyla x1, x2, x3, x4’ün meydana gelme olasılıkları olsun. ve olduğunda olarak bulunur. olduğuna göre10 atışta beklenen sarı top sayısı : 10 atışta beklenen mavi top sayısı : 10 atışta beklenen mor top sayısı : 10 atışta beklenen kırmızı top sayısı : Varyanslar ise; olarak bulunur.Moment çıkaran fonksiyon; olarak bulunur.Örnek : Bir kutuda iki kusurlu 10 tane de kusursuz parça vardır. Yerine koyarak seçmek şartıyla;ilk kusurlu parçanın elde edilmesi için gereken çekiş sayısının olasılık fonksiyonu nedir?7. Çekilişte ilk kusurlu parçayı elde etme olasılığı nediR?Çözüm :X = ilk kusurlu parça için gerekli deney sayısı kusurlu oranı kusursuz oranı olup,Örnek : Bir sandıkta 7’si sarı, 5’i mor, 12 tane top vardır. Bu sandıktan 3 tane top yerine konmadan seçilmektedir. X tesadüfi değişkeni örneğe çıkan sarı top sayısını göstersin.X’in olasılık fonksiyonunu yazınız.E(X)V(X)Bu örnekte topların yerine konarak, seçildiğini varsayarak aynı sorulara cevap veriniz ve sonuçları karşılaştırınız.Çözüm :X’in olasılık fonksiyonu hipergeometrik bir dağılıma göre Aynı problemi çekilişlerini yerine koyarak yapıldığını varsayarak çözelim. Bu takdirde Binom dağılım söz konusu olur.Örneğin çıkan sarı top sayısı y tesadüfi ile gösterelim. Y’nin olasılık fonksiyonuDağılım ortalaması olup iki dağılım ortalaması eşittir.Dağılım varyansı;’dır.Burada da görüldüğü gibi Binom dağılımın varyansı Hipergeometrik dağılım varyansından büyüktür.Sınırlı çarpma değeri; ve olup, örnekleme oranı 0,10’dan küçük değildir.