İşte Cevaplar
Cevap :
Büyük bir sayıda kök almak el hesabı ile imkânsız olduğu için bu tür ortalama genel olarak elektronik hesap makinelerinin veya bilgisayarların gelişmesinden önce kullanılması çok zor olmaktaydı. Verilerin logaritması alınıp bu logaritma verilerinin toplamı bulunduktan sonra eldeki veri büyüklük sayısına bölünerek geometrik ortalamanın logaritma değeri bulunur, bunun antilogaritmasının alınması gerekirdi. Orta basitlikte hesaplar yapabilen elektronik hesap makinaları veya kompüter kullanılarak geometrik ortalama almak çok kolaylaşmıştır.
Not : Ekteki Geometrik Ortalama Sunusu sana çok yardımcı olacaktır.
Diğer Cevaplara Gözat
Büyük bir sayıda kök almak el hesabı ile imkânsız olduğu için bu tür ortalama genel olarak elektronik hesap makinelerinin veya bilgisayarların gelişmesinden önce kullanılması çok zor olmaktaydı. Verilerin logaritması alınıp bu logaritma verilerinin toplamı bulunduktan sonra eldeki veri büyüklük sayısına bölünerek geometrik ortalamanın logaritma değeri bulunur, bunun antilogaritmasının alınması gerekirdi. Orta basitlikte hesaplar yapabilen elektronik hesap makinaları veya kompüter kullanılarak geometrik ortalama almak çok kolaylaşmıştır.
Not : Ekteki Geometrik Ortalama Sunusu sana çok yardımcı olacaktır.
Diğer Cevaplara Gözat
Sunum İçeriği
1. SayfaGeometrik Ortalama (G)Bir serideki gözlem değerlerinin birbirleri ile çarpımlarının, gözlem sayısı derecesinde kökünün alınması ile elde edilir. Basit seri için şöyle yazılır. olupyazılırsa kısaca geometrik ortalama olarak yazılır.Ancak bu yoldan geometrik ortalamayı bulmak için gözlem sayısının az olması gerekir. Gözlem sayısı arttıkça bu yoldan geometrik ortalamayı hesaplamak güçleşmektedir. Bunun yerine logaritmik dönüşüm uygulanarak geometrik ortalama hesaplanır.
2. Sayfa
ifadesi üslü olarak yazılır, bu ifadenin her iki tarafının logaritması alınırsa Çarpımın logaritması ayrı ayrı logaritmalar toplamına eşit olduğuna göre; olup düzenlenirse, Burada logG’yi G ye çevirmek için logG’nin ters logaritması alınarak geometrik ortalama elde edilir.
3. Sayfa
Tasnif edilmiş seride; logaritmik olarak; olur.Gruplanmış seri için;Geometrik ortalamanın özellikle geometrik dizi şeklindeki serilere uygun olduğunu söylemek mümkündür. Geometrik bir dizi logaritması alınarak aritmetik diziye dönüştürülür.
4. Sayfa
Kusurlu parça sayısı (Xi)logXi30.47750.69980.903151.176301.477log Xi = 4.732Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten 5 işçinin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayıları aşağıda verilmiştir. Bu işçilerin parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz.
5. Sayfa
Örnek 1.10) Bir işletmede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına günlük kusurlu parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz. G=13,98 G=13,98 parça Kusurlu parça sayısıİşçi sayısı (fi)milogmifilogmi0 – 10550.698973.4948510 – 13811.51.06068.484813 – 1510141.14611.4615 – 201217.51.24314.31620 – 405301.4777.385fi = 40filogmi = 45.74065
6. Sayfa
Tartılı Geometrik Ortalama: Önem derecesi farklı olan verilere tartılı ortalamalar tatbik edilmektedir. Tartılı geometrik ortalama aşağıdaki formüllerle hesaplanır. Basit seride:Tasnif edilmiş seride:Gruplanmış seride:
7. Sayfa
Örnek Bir işletmede verimin tecrübeye bağlı olduğu düşünülmektedir. Bu işletmede çalışan işçilerin üretim miktarları ve tecrübe (çalışılan yıl) dağılımı aşağıdaki tabloda özetlenmiştir. İşçi başına günlük üretimin tartılı geometrik ortalamasını hesaplayınız. logG = 1.717 G = 101,717 G = 52,12 parça Günlük üretim (adet)İşçi sayısı (fi)Tecrübe (çalışılan yıl) (ti)logXifitifitilogXi40531.6021524.0345781.6535692.5685015151.699225382.2755520201.74400696,14Toplam6961195,313
8. Sayfa
Geometrik Ortalamanın Tahmin Amacıyla KullanımıGeometrik diziye benzer değişim gösteren nüfus, milli gelir artışı, fiyat artışı ve sermaye artışı gibi değişkenlerin tahmininde geometrik ortalama özelliğinden yararlanılabilir. Bu tür seriler genel olarak bir önceki yılın belli bir yüzdesi şeklinde değişim göstermektedir. Bunun için bir dönemlik (ay yıl vs)değişim oranı geometrik ortalama ile belirlenir. Bu eğilimin gelecekte de benzerlik göstereceği varsayımı ile gelecek dönem ile ilgili tahminler elde edilebilir. Bir malın fiyatı için: Po: başlangıç dönemi değeri, Pn: n. Dönemin değeri, r : bir dönemlik değişim yüzdesi şeklinde olur.
9. Sayfa
Örnek Bir X malının 1995 yılı fiyatı 10000 TL , 2003 yılı fiyatı 300000 TL olduğu bilindiğine göre;Bu malın yıllık fiyat artış oranını hesaplayınız2010 yılı için X malının fiyatını tahmin ediniz1985 yılı fiyatı ne olmuş olabilir1999 yılı fiyatını tahmin edinizHangi yılda fiyatlar 50000000 TL olur? Çözüm P1995 = 10000 P2003 = 300000 n= 8 (2003-1995) Fiyat artış oranı için geometrik artış dikkate alınırsa; fiyat artışı %53 b) formülünden 2010 yılı fiyatı tahmin edilebilir.P2010 = P2003(1,53)(2010-2003) P2010 = 300000(1,53)7 = 300000(19,626) P2010 = 5887800 TL olur.
10. Sayfa
Geometrik ortalamanın özellikleri1) Geometrik ortalamanın gözlem sayısı kadar üssü alınırsa serinin çarpımı elde edilir. GN = X1X2X3XN GN = Xi2) Bir serideki gözlem değerlerinin geometrik ortalamaya oranları çarpımı 1’e eşittir.3) Bir serideki değerlerin logaritmalarının serinin geometrik ortalamasının logaritmasından farklarının toplamı sıfır olur (logXi - logG) = 0 logXi - NlogG = 04) Serideki aşırı değerlere karşı, aritmetik ortalama kadar hassas değildir.
11. Sayfa
5- İki serinin gözlem sayısı ve çarpımları eşit ise geometrik ortalamaları da eşit olur.6)-Serideki değerlerin çarpımı sonucu negatif ve serideki çarpanların sayısı çift ise geometrik ortalama hesaplanamazken, serideki değerlerin çarpımı sonucu negatif ve serideki çarpanların sayısı tek ise geometrik ortalama hesaplanabilir.7) Geometrik ortalama özellikle geometrik dizi şeklindeki (değişim oranı sabit) serilerin ortalamasının hesaplanmasında kullanılır. (2,4,8,16,32,64 tam geometrik 1,10,100,1000,10000 tam geometrik vs.)XilogXi30,47790,954271,431811,9082432,386