Sunum İçeriği

İkinci Dereceden DenklemlerİKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERTANIMLAR :a, b, c R ve a 0 olmak üzere ax2 + bx +c 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir.Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir.Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.UYARIAyrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır.İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİİlk olarak ax2 + bx + c 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.ÖRNEKLER :Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.1. 3x2 – 5x 0 2. x2 – x – 6 0 3. 2x2 + x – 1 0ÇÖZÜMLER :3x2 – 5x 0 2. x2 x 6 0 3. 2x2 x 1 0x . (3x – 5) 0 (x 3) . ( x 2) 0 (x 1) . (2x 1) 0x 0 V 3x – 5 0 x 3 0 V x 2 0 x 1 0 V 2x 1 0 x x 3 x 2 x 1 x Ç { 0, } Ç {2,3} Ç {1,}ax2 bx c 0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)ax2 bx c 0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;ax2 bx c a a(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı). a 0 ise o halde x1ve x2= elde edilir.Bu kökler gerçel sayı ise b2 4ac 0 olması gerekir.TANIM :ax2 + bx c 0 denkleminde b2 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve ile gösterilir.Denklemin kökleri ise x1 formülleri ile bulunur.Bu kökler kısaca, biçiminde yazılır.İrdeleme: ax2 bx c 0 denkleminde b2 4ac iken 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.Bunlar x1 dır.UYARIa ile c gerçel sayıları ters işaretli ise 0 dır. 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir. Bunlar dır. 0 olduğundan (ax2 bx c) ifadesi tamkare olur. 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R deki çözüm kümesi dir.İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)ax2 bx c 0 denkleminde b çift iken kullanılabilir. b’ Bu durumda, ’ (b’)2 acx1ÖRNEKLER :Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz.1. x2 3x 1 0 2. 2x2 3x 10 0 3. x2 2 ÇÖZÜMLER :x2 3x 1 0 2. 2x2 3x 10 0a 1, b 3, c 1 a 2, b 3, c 10 (3)2 4(1) (1) 9 4 13 (3)2 4.2.10 9 80 71 0 olduğundan Ç dir. x1,2 Ç x2 2 3 0a 1, b 2 , c 3b’ ’ x1,2 Ç İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER: ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER P(x).Q(x) 0 P(x) 0 V Q(x) 0ÖRNEKLER :Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.1. 2x3 3x2 18x 27 0 2. 3(x 4)2 48 0 ÖRNEKLER :2x3 3x2 18x 27 0 2. 3(x 4)2 48 0 x2 (2x 3) 9(2x 3) 0 3[(x 4)2 16] 0 (x 4)2 42 0 (2x 3) (x2 9) 0 (x 4) 4 0 V (x 4) 4 0 (2x 3) . (x 3) (x 3) 0 x 8 0 x 0 2x 3 0 V x 3 0 V x 3 0 x 8 x x 3 x 3 Ç {0, 8} Ç RASYONEL DENKLEMLER 0 P(x) 0 Q(x) 0ÖRNEK: denkleminin çözüm kümesi nedir?ÇÖZÜM: (1) (2x 1) (x 4) (2x 1) (x 4)27 4x2 2x 6x 24 2x2 7x 46x2 x 1 0 (2x 1) (3x 1) = 0 x x Ç YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER(DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME) ÖRNEK: x6 26x3 27 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?ÇÖZÜM:x3 t olsun x6 (x3)2 t2 olur.Buradan denklemt2 26t 27 0 biçimine dönüşür. (t 27) . (t 1) 0 t 27 0 V t 1 0 t 27 t 1 x3 27 x3 1 x 3 x 1 Ç {3,1}KÖKLÜ DENKLEMLERn N+ ve P(x) R[x] olmak üzere ifadesi x R için tanımlıdır ifadesi, P(x) 0 koşulunu gerçekleyen x’ler için tanımlıdır.Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır.Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır.Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.ÖRNEK: denkleminin çözüm kümesi nedir?ÇÖZÜM: eşitliğinin sağlanması için,x 6 0 ve x 4 0 x 4 olmalıdır.x 6 = x2 8x 16 x2 7x 10 0(x 5) (x 2) 0 x 5 V x 2 Ç {2}ÜSLÜ DENKLEMLERÖRNEK: denkleminin çözüm kümesi nedir?ÇÖZÜM: dir.(x3) (x2) 0 x 3 0 V x 2 0 x 3 x 2 Ç {2, 3} F) MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır. Bunu şöyle açıklayabiliriz. n N ÖRNEK:x2 |x| 2 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?ÇÖZÜM:x2 |x| 2 0x2 (x) 2 0x2 x 2 0(x 2) . (x 1) 0x 2 x 1Ç1 {2}x 0 |x| x dir.x2 x 2 0(x 2) (x 1) 0x 2 V x 1Ç2 {2}Denklemin çözüm kümesi ise Ç Ç1 Ç2 dir. Buradan Ç = {2, 2} bulunur. DENKLEM SİSTEMLERİÖRNEK:sisteminin çözüm kümesi nedir?ÇÖZÜM:x y 20 y 20 x, x .y 64 x . (20 x) 6420x x2 64 x2 20x 64 0 (x 16) (x 4) 0, x1 16 V x2 4 y1 20 16 y2 20 4 y1 4 y2 16 Ç {(16, 4) , (4, 16)} ÖRNEK:sisteminin çözüm kümesi nedir?ÇÖZÜM:2x 3y 12 Ç PAREMETRELİ DENKLEMLER İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir. Örneğin; mx2 (m 1)x 2m 3 0 denklemindeki parametre m ; 2x2 (a b)x a . b 0 denklemindeki parametreler a ve b dir.ÖRNEK:(m 3)x2 2mx 3(m 1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (1) ise m kaçtır?ÇÖZÜM:(m 3)x2 2mx 3(m 1) 0x 1 için (m 3) (1)2 2m(1) 3(m 1) 0 m 3 2m 3m 3 0 6m 6 m 1ÖRNEK:mx2 2(m 1)x m 5 0 denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır? ÇÖZÜM:x1 x2 ise 0 olmalıdır. (b’)2 ac 0 [ (m 1)]2 m(m 5) 0m2 2m 1 m2 5m 0 m UYARIİkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x2 li terimler yok edilir. Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur.ÖRNEK: denklemlerinin çözüm kümesi eşit ise (m, n) ikilisi nedir?ÇÖZÜM:YOL : Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır. 3 / 2x2 (n 1)x m 6 0 2 / 3x2 2x 2m 1 0 3(n 1) 4 ve 3m 18 4m 2 7m 20 m İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ax2 bx c 0 denkleminin diskriminantı b2 4ac ve kökleri ve idi.Buna göre ;Köklerin toplamı :Köklerin çarpımı : Köklerin farkı : Köklerin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı : Köklerin karelerinin toplamı : 6. Köklerin karelerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı : 7. Köklerin küplerinin toplamı : Köklerinin küplerinin çarpma işlemine göre terslerinin toplamı : UYARIKöklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz. ÖRNEK:2x2 4x m 3 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.x12 x22 4 ise m kaçtır?ÇÖZÜM:Denklemde a 2, b 4, c m 3 dür.x12 x22 4 16 4m 12 16m 3ÖRNEK:2x2 7x –1 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır?ÇÖZÜM:Denklemin kökleri x1, x2 olsun.İstenen bağıntı (x1 3) . (x2 3) dür.Buna göre;(x1 3) . (x2 3) x1x2 3x1 3x2 9 x1 . x2 3 . (x1 x2) 9 olur. KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK Kökleri x1, x2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x x1) . (x x2) 0 biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x2 (x1 x2) . x (x1 . x2) 0 denklemi elde edilir.ÖRNEK:Kökleri 3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?ÇÖZÜM:olduğundan denklem,x2 (x1 x2) . x (x1 . x2) 0 x2 (1) . x (6) 0 x2 x 6 0 dır.ÖRNEK:Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi x1 3 dir. Bu denklem nedir?ÇÖZÜM:UYARIa, b, c, p, q Q olmak üzere ax2 bx c 0 denkleminin bir kökü x1 p ise x2 p dur.Buna göre x1 3 ise x2 3 dür. dir.Denklem, x2 (x1 x2)x (x1 . x2) = 0 x2 6x 7 0 olur. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER1. x2 x |1x| 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?ÇÖZÜM: x(x1) (x1) 0 (x 1) (x 1) 0 x 1 Ç {1}2. denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?ÇÖZÜM: olsun. t 3 V t 2 6x 3 x 3 x 3 4x 2 3. denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. |x1 x2| nedir?ÇÖZÜM: x1 = 21 x2 5|x1 x2| |21 5| 164. 3x 1 3x 2 3x 3 3x 4 768 denklemini sağlayan x değeri nedir?ÇÖZÜM: 5. sistemini sağlayan y değeri nedir?ÇÖZÜM:x y z 19 (x z)2 (19 y)2x2 z2 2xz 361 38y y2133 y2 2y2 361 38y y238y 228 y 6Köklerinden birisi 2 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?ÇÖZÜM: ise x2 2 dir. 4 3 1Denklem,x2(x1 x2)x (x1 . x2) 0x2 (4)x 1 0x2 4x 1 0 olur.7. mx2 2(m 2)x m 3 = 0 denkleminin kökleri x1, x2 dir. x1 x2 s ve x1 . x2 p olmak üzere, bu denklemin kökleri arasında m’ye bağlı olmayan bağıntı nedir?ÇÖZÜM:mx2 2(m 2)x m 3 = 0bulunur.8. 3x2 mx 6 0 denkleminde bağıntısı varsa m kaçtır?ÇÖZÜM:Bu denklemde,4 x1x2 8x1 4 (2) 8x1 x1 x1 . x2 -2 . x2 2 x2 8x1 x2 6x2 11mx 10m2 0 ise nedir?ÇÖZÜM: 2x 5m 3x 2m (2x 5m) (3x 2m) 0 ise2x2 x m 2 = 0 denkleminin x1 ve x2 kökleri arasında bağıntısı varsa, m tam sayısı nedir?ÇÖZÜM:1 4m 8 5m2 20m 205m2 24m 27 0(5m 9) (m 3) 0Ç