Sunum İçeriği
KOMPLEKS SAYILARA GİRİŞ Reel sayılar cisminde katsayıları bu cisme ait herhangi bir lineer denklemin çözümü daima vardır.Ancak ikinci ve daha yüksek dereceden bir denklemin her zaman için çözümü var olmayabilir.Örneğin, denkleminin reel sayılar cisminde çözümü yoktur.Çünkü reel sayılar cümlesinde gibi bir sayı tanımlı değildir.Bu durumda böyle denklemleri çözebilmek için reel sayılar cismini genişletmek icap eder.Yani şunu diyebiliriz ki, kompleks sayılar gibi reel sayılarda çözümü olmayan denklemlerin çözülebilmesi için duyulan ihtiyaçtan doğmuştur. denkleminin kökleri formülü ile hesaplanır ve ve olacak şekilde kökler ve katsayılar arasında bir ilişki olduğu bilinir.Bu formül olduğu zaman geçerliliği vardır.Oysa olduğu zaman ise reel anlam-da çözümü olmaz.Ancak olması halinde bile ’nin kök olduğu var-sayılıp aynı reel sayılardaki gibi işlemler yapıldığında bile bütün ilişkiler aynı kalmaktadır.Bu durum daha eski çağ matematikçileri tarafından çekinerek de olsa kullanılmıştır.Ancak böyle bir kabul ‘in bir sayı olarak görme fikrini ortaya çıkarır. Daha Babiller zamanında bile ‘i içeren kökler biliniyor ve kullanıyor-lardı. 16.yüzyılın başlarında Geronimo Cordono (1501- 1576) tarafından da kuadratik ve kübik denklemlerin çözümü sırasında kompleks sayılara ihtiyaç duymuştur. Rene Descartes (1596-1576) ’in gerçek sayı olmadığını vurgulamak için imajiner adını vermiş ve i şeklinde göstermiştir. Abraham De’Moivre , Euler , formüllerini bulmuşlardır. Bu formüller , kompleks sayılara bağlı kompleks fonksiyonların yapısın açıklayan ilk formüllerdir. Kompleks sayılara sağlam bir matematik dayanak sağlama girişimi ilk ola-rak Gauss’a (1777-1855) aittir.W.R.Hamilton (1805-1865) Gauss’un ortaya koy-duğu, karmaşık sayıları (a,b) gibi reel sayılar çifti şeklinde gösterme fikrini,daha da geliştirerek kompleks düzlemde gösterme fikrini ortaya koymuştur.Yani , na-sıl reel sayıları reel eksende gösterebiliyorsak kompleks sayıları da bir düzlemde gösterme fikrini geliştirmek mümkündür. Bu sahadaki gerçek şaşırtıcı sonuçlar kompleks sayılarda yapılan bir çok işlemin reel sayılarda yapılanlara benzerliğinden ziyade; serilerin yakınsaklığın-dan , cebrin esas teoremine , belirsiz integralin hesaplanmasında vb. bir çok problemin hesabında görülen kolaylıktır.Dahası da reel analizde çözülmeyen birçok sorunun kompleks analizde çözülmesidir. İşlem ve kavramları bakımından oldukça soyut gözüken kompleks analizin bugün teknolojide de oldukça yaygın kullanım alanı vardır. Sayı sistemlerinin en büyük genişlemesi kompleks sayılardır.Kompleks sayılar üzerindeki işlemlere göre bir cisim yapısı vardır.Kompleks sayıların iki boyutlu genişlemesi mümkün değildir.KOMPLEK SAYILARIN OLUŞTURULMASIBurada kompleks sayılar cümlesini üç farklı yoldan elde edeceğiz. 1.Yol: olmak üzere denkleminin diskriminantı olan ifadesi negatif olduğu zaman köklerin reel bir anlamı yoktur.Bu halde, yazabiliriz.Bu durumda denklemin kökleri, şeklinde yazılarak denkleminde yazılırsa elde ederiz. ve yazılacak olursa ifadenin sağ tarafı sıfıra eşit olacağından olur.Böylece denklemin diskriminantının negatif olması durumunda (reel manada çözümünün olmadığı bir durumda) bir çözüm elde edilmiş olur.Yani, şeklinde bir çözüm elde edilmiş olur.Bu tür sayılara Kompleks sayılar , bu sayıların oluşturduğu cümleye de Kompleks sayılar cümlesi denir ve ile gösterilir. 1.Yol: 2.Yol: polinomlar halkasından faydalanarak kompleks sayıları elde etmeye çalışalım. için şeklinde yazılabileceği açıktır.Yalnız burada ’dir.Ancak reel sayılarda tanımlı olmayan sayısını alacak olursak olacaktır. ve olarak polinomda yerine yazalım. şeklinde bir sayı elde edilmiş olur.Karesi negatif olan (yani reel almayan) sayılara bağlı bir polinom elde edilmiş olur. Böylece elde edilmiş sayıların cümlesine kompleks sayılar denir ve ile gösterilir. 3.Yol:(vektörel olarak elde ediliş)1600200170180y00y düzlemini ele alalım:169418023431500 xaa-aBACxaa-aBAC vektörü a’ya eşit olsun. Şimdi bu vektörünü nasıl vektörüne döndüreceğimizi düşünelim: İlk önce cebirsel olarak ’ yı -1 ile çarpmak akla gelebilir. - 1 = -1 (a,0) = (-a,0)= olacaktır. İkinci olarak da ’yı geometrik olarak 180(pozitif veya negatif yönde) dönderirsek vektörü üzerine gelecektir.O halde ’yı -1 ile çarpmak demek aynı zamanda 180 döndürmek demektir. Şimdi de vektörünün nasıl ’ ye döndüreceğimizi düşünelim, yani vektörünü 90 döndürelim. Farz edelim ki ’yı bir i sayısı ile çarptığımızda ’ ye dönsün. Aynı düşünceye devam ettirilirse ’yi i ile çarptığımızda ’ ye dönecektir. O halde ,i= ve i===-1olacaktır. Buradan , sayısını elde etmiş oluruz. Şimdi , , ’yi i cinsinden =a=ia=-aşeklinde yazabiliriz. Şimdi düşüncemizi daha ileri götürelim ve ’de herhangi bir vektörünü alalım. O(a,b)= abbXyO(a,b)= abbXyBurada ’nin b bileşeni yatay eksendeki b vektörünün i ile çarpılmasıyla elde edilmiştir. Yani(a,b)= =a+ib=(a,0)+i(b,0)şeklinde yazabiliriz.Böylece düzleminden yeni bir düzlem elde etmiş olduk. Bu düzleme kompleks düzlem denir ve C ile gösterilir. C’nin elemanları z= (a,b) = a+i b şeklindedir.Kompleks sayıları elde etmek için kullandığımız bütün bu yollardan sonra şunu diyebiliriz ki ; her şeklindeki kompleks sayıları şeklinde ’ deki başlangıç noktası ,bitim noktası olan bir vektörle eşleştirebiliriz. Tersi bir düşünceyle de ’deki her vektörünü şeklindeki bir kompleks sayıya eşleyebiliriz. Kısaca şöyle ifade edebiliriz: ’dir. C’deki yaptığımız aritmetik işlemlerin mantığı R veya ’de işlemlerin mantığı ile aynıdır. Ancak şunu tekrar belirtelim ki vektörü şeklindedir.Bütün bunlar bize gösteriyor ki C ile düzlemleri birbirine denk düzlemlerdir. Bunun ilerde C ile ’nin birbirine izomorf olduğunu gösterdiğimizde daha iyi anlayabiliriz. Bundan sonraki konularda yeri geldikçe ve yeri geldikçe de (Gauss-Hamilton gösterimi) gösterimlerini kullanacağız.Kompleks Sayılarda İşlemlerTanım: a ve b birer reel sayı ve olmak üzere, şeklinde ifade edilen sayına kompleks sayı denir. Kompleks sayılar kümesi C ile gösterilir. ’dir. kompleks sayısında ’ya kompleks sayının reel(gerçel) kısmı, ’ye kompleks sayının imajiner(sanal) kısmı denir ve , şeklinde gösterilir.’nin Tam Kuvvetleri:Görüldüğü gibi ’nin kuvvetleri ; değerlerinden birine eşit olmaktadır. O halde, olmak üzere ise ’dir. Şimdi bu ifadeyi ispatlayalım: ise olacak şekilde bir vardır. O zamanolarak bulunur.Toplama (Çıkarma) işlemi:Kompleks sayılar toplanırken(yada çıkarılırken) reel,sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( yada çıkarılır ). için,şeklindedir. 2) Çarpma işlemi: Kompleks sayılarda çarpma işlemi, olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır. için,şeklindedir.3) Bölme işlemi: Kompleks sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile yapılır. için, , olmak üzere,olarak bölme işlemi yapılır.Bir Kompleks Sayının Mutlak Değeri(Modülü)Kompleks düzlemde, bir kompleks sayıya karşılık gelen noktanın , başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının mutlak değeri ( modülü ) denir ve şeklinde gösterilir. 3524256350y00y 4572009334500133350165735a00a1257300118110z00z4667251390650012192001441450045720014414500 ise şeklindedir.457200128270001104900133350b00b228600190500O00O148590015875x00xMutlak Değer ile ilgili Özellikler için,1) 2) 3) 4) 5) 6)7) İspat:1) 2) Bir Kompleks Sayının EşleniğiKompleks düzlemde yatay eksene göre birbirinin simetriği olan sayılara eşlenik kompleks sayılar denir. Yani sayısının eşleniği olan sayı ’dir.Eşlenik İfadelerin Özellikleri: için,1) 2) ise ’dir.3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) sayısının safî sanal sayı olması için ancak ve ancak olmasıdır.10) sayısının reel sayı olması için ancak ve ancak olmasıdır. 11) Reel katsayılı denkleminin bir kökü ise diğer bir kökü de ’dirİspat:1) 2) ve ise 3) 4) 5) 6) n tane n tane7) 8) 9) safi sanal sayı ise yazılabilir. O zaman olacaktır. Bu durumda yazılabilir. ise yazılırsa ve olacaktır. Bu durumda ve bulunur. 10) bir reel sayı ise yazılır. Bu durumda elde edilir. ise yazılır ve buradan da elde edilir.11) Daha önceden biliyoruz ki böyle ikinci dereceden bir denklemin kökleri, denklemin diskriminantı olmak üzere, olacaktır. Buradan da görüleceği gibi kökler birbirinin eşleniğidir.Kompleks Sayıların Kutupsal Koordinatlarda Elde Edilişi Trigonometri konusundan biliyoruz ki düzlemindeki merkezil birim çember üzerinde bir nokta aldığımızda bu noktanın apsisi (, bu noktanın yatay eksenle yaptığı açıdır.) ordinatı ise ’dır. O halde kompleks sayıları elde ettiğimiz 3. yolu tekrar hatırlayacak olursak; ,’nin modülü olmak üzere olarak elde edebiliriz. Bu gösterimin kompleks sayıların kutupsal gösterimi de denir. kompleks sayısının kutupsal koordinatlarda yazılışı şeklindedir.r ise ’ dir. ve fonksiyonları periyotla bellidir. O zaman sayısı da periyotla bellidir.Kutupsal Koordinatlarda İşlemlerDe’Moivre Formülü: olmak üzere ’dır.İspat :Çarpma işleminde bildiğimiz gibi iki kompleks sayının çarpımında argümentler toplanıp çarpımın sonucunun argümenti olarak yazılıyordu. O zaman bu formülde de tane aynı kompleks sayıyı çarptığımızı düşünürsek çarpımın sonucunun argümenti olacaktır. O halde, olur.800100196215y00yDe’Moivre formülünün geometrik manası2628900487045Şayet ise şekilde görüldüğü gibi bütün kuvvetler çemberinin üzerindedir. kuvvet ise üzerine denk gelir.00Şayet ise şekilde görüldüğü gibi bütün kuvvetler çemberinin üzerindedir. kuvvet ise üzerine denk gelir.00 x00 xAncak şekilde görülen vektörlerin boyu azalarak gidecek ve kuvvet de ise yine üzerine denk gelir ancak boyu den daha küçük olacaktır. ise şekilde görülen vektörlerin boyu artarak gidecek ve kuvvet de ise yine üzerine denk gelir ancak boyu den daha büyük olacaktır.De’Moivre Formülünün Genel Şekli:Formülün birinci tarafı birinci tarafı binom formülüne açılırsa karmaşık sayıların eşitliğinden elde edilir.bulunur. (1) ve (2) ifadelerinden için için için, olarak bulunur.Toplama (Çıkarma) işlemi: ve olsun.şeklindedir.Çarpma işlemi: ve olsun. şeklindedir.Bölme işlemi: ve olsun şeklindedir.Mutlak Değer (Modül):iseşeklindedir.Kutupsal koordinatlarda eşlenik ifadeler: ise olacaktır.Kompleks Sayıların Üstel Olarak Elde Edilişi fonksiyonunu Taylor serisine açalım. Şimdi de ve fonksiyonlarını Taylor serisine açalım. Dikkat edecek olursak (1) ifadesinin parantez içindeki ifadeler sırasıyla ve ifadelerine eşittir.O zaman şöyle yazabiliriz ’dır.O halde şeklinde de gösterilebilir.Bu gösterime de üstel gösterim denir. Euler Formülü : ve fonksiyonlarını yukarıdaki gibi seriye açacak olursak olarak bulunacaktır. Bu eşitlikleri De’Moivre formülünden de elde edebiliriz. Bu ifadeleri taraf tarafa toplar ve çıkarırsak,eşitliklerini elde ederiz. Özel olarak için ,olarak elde edebiliriz. ve ’in Hesabı:Üstel Gösterimde İşlemlerToplama işlemi: ve kompleks sayıları verilsinşeklindedir.Çarpma işlemi: ve kompleks sayıları verilsinşeklindedir.Bölme işlemi: ve kompleks sayıları verilsinşeklindedir.Eşlenik: ise olacaktır.KOMPLEKS SAYILARIN KÖKLERİTanım : n bir pozitif tamsayı, ve birer kompleks sayı olmak şartıyla ; şartını sağlayan sayısına ’nin dereceden kökleri denir.Önerme: olmak üzere olacak şekilde bir vardır.İspat : yazacak olursak işlemlerimiz çok daha kolay olacaktır. Ancak burada her sayısı ile bellidir. ifadesinin her iki yanının dereceden kökünü alacak olursak elde edilir. Bu son elde ettiğimiz ifadede yerine değerleri yazılacak olursa ifadesinin köklerini bulmuş oluruz.Kompleks sayının geometrik manası:11430053975 xz00 xz251460012065 Şekilde görüldüğü gibi boyutları birbirine eşit ( kadar) olan ve argümentleri sırasıyla ,,,,….. dır.00 Şekilde görüldüğü gibi boyutları birbirine eşit ( kadar) olan ve argümentleri sırasıyla ,,,,….. dır.Örnek :Çarpımsal ve sanal birimin dereceden köklerini bulalım: ifadesini sağlayan değerlerini bulalım. olarak kökleri buluruz.Şimdi de ifadesini sağlayan değerlerini bulalım. olarak kökleri buluruz.1. Özelik: denkleminin ve kökleri eşleniktir. ve olduklarını göz önüne alacak olursak olduğundan dolayı { olduğunu da biliyoruz.} ’dir.2. Özelik : denkleminin herhangi iki kökünün çarpımı da, bölümü de bu denklemin bir köküdür. için ve olarak yazalım.olup ve de bu denklemin kökleridir.3. Özelik: denkleminin herhangi bir kökünün kuvvetleri de köktür. tamsayısı için eğer bir kök ise 2. özellikten de bir kök olur.4. Özellik: denkleminin herhangi bir kökünün tersi de köktür.3.özellikte alınırsa kök iken de kök olur.Asli (primitif kök): denkleminin kökü olup daha küçük dereceden bir denklemin kökü olmayan köklere bu denklemin asli kökleri denir.Eğer asal ise denkleminin bütün kökleri asli köktür.Eğer asal değilse köklerin indisi olmak üzere olan kökleri asli köklerdir.KOMPLEKS SAYILARIN KUVVETLERİDe’Moivre Formülü: olmak üzere ’dır.İspat :Çarpma işleminde bildiğimiz gibi iki kompleks sayının çarpımında argümentler toplanıp çarpımın sonucunun argümenti olarak yazılıyordu. O zaman bu formülde de tane aynı kompleks sayıyı çarptığımızı düşünürsek çarpımın sonucunun argümenti olacaktır. O halde, olur.Yani şeklinde verilmiş bir kompleks sayının kuvveti ’dır.Kompleks sayıların üstel gösterimi ise şeklinde idi. O zaman kompleks sayının kuvveti şeklinde olacaktır.Kompleks Sayılarda Sıralamakümesinin tam sıralı bir cisim olduğunu biliyoruz.Ancak kompleks sayılarda böyle bir sıralamadan bahsedemeyiz.Şimdi kompleks sayılarda bir bağıntı tanımlayalım ve yukarıdaki iddiamızı ispatlamaya çalışalım. ve iki kompleks sayı olmak üzere ve sağlandığında olarak kabul edelim. sayısı için ve olup bağıntı yansıyandır. , sayıları için ise ve olsun. ve ise ’dir. Bu iki durum ancak ve ancak olduğunda geçerlidir. Yani bu şartlar altında bağıntı ters simetriktir. ,, sayıları ise ve ve ise ve ‘dir. O halde ve olacağından olacaktır. O halde bağıntı geçişmelidir.Bütün bu şartları sağladığından dolayı bağıntımız kısmi sıralama bağıntısıdır. Kompleks sayılar cümlesini her elemanı karşılaştırılamadığından bu bağıntımız tam sıralama bağıntısı değildir ve kompleks sayılar cümlesi tam sıralı cümle değildir. Örneğin ve sayıları karşılaştırılamaz.Kompleks sayılar cümlesinde hiçbir zaman tam sıralama bağıntısında söz edilemez.C de -1 sayısı sayısının karesidir. Eğer olduğunu varsayarsak olacaktır. den çıkar ki bu bir çelişkidir. Benzer şekilde seçilirse dan çıkar ki bu da bir çelişkidir.Karmaşık Sayılarla Analitik GeometriDüzlemdeki geometrik yeri veren analitik ifadeler, verilen özelliği gerçekleyen değişken noktanın koordinatları arasındaki bağıntıdır. Örneğin, orijine uzaklığı olan noktaların geometrik yeri şeklinde bir çember denklemidir. Orijinden geçen ve eğimi olan doğru denklemi şeklindedir.Düzlemdeki bir nokta ise karmaşık sayısıdır. Ve daha önceki konulardan biliyoruz ki ve bağıntıları mevcuttur. Böylece’ye bağlı ifadeleri cinsinden yazabiliriz.İfadesi cinsinden verilmiş bir denklemde yerine yazıp, denklemi ’ye bağlı bir şekle çevirebiliriz.Çember Denklemi :‘dir.şimdi gerekli düzenlemeleri yapalım. , elde edilir. Daha önceden biliyoruz ki :’dir. Demek ki düzlemde ki bir çemberin kompleks sayılarla ifade edilen denklemi şeklindedir (Şekil 1). Benzer düşünceyle merkezli bir çemberin denklemi ise şeklinde olacaktır (Şekil 2).37719002578100Şekil 2.00Şekil 2.285750026352500zOxyzOxy102870017145Şekil 1.00Şekil 1. Doğru Denklemi:Kompleks düzlemde bir doğrunun denklemini bulmaya çalışalım. bir doğru, doğrunun yer vektörü, doğru üzerinde hareketli bir nokta ve doğru üzerinde her hangi bir vektör olmak üzere doğrunun denklemi : şeklindedir. Doğrunun denkleminin elde edilişi aşağıdaki gibidir. OOElipsin Denklemi:abOxyz=(x,y)abOxyz=(x,y)Elipsin kartezyen koordinatlardaki denklemiŞimdi bu ifadeyi kompleks sayılar cinsinden elde edelimeşitliklerini genel elips denkleminde yerine yazalım ve gerekli düzenlemeleri yapalımParabolun Denklemi:Hiperbolün denklemi:Genişletilmiş kompleks düzlem :Küre denklemi:KOMPLEKS SAYILARIN AKSİYOMATİK İNCELEMESİBir önceki konuda C cümlesinin nasıl olduğunu görmüştük. Şimdi bu cümlenin sağladığı aksiyomlar üzerinde duralım. cümlesi üzerinde eşitlik,toplama ve çarpma işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanır:, , ve C içinEşitlik işlemi: ve Toplama işlemi: Çarpma işlemi:şeklindedir.Şimdi bu işlemler altında (C,+) ve (C, . ) sistemlerinin birer grup olup olmadığını araştıralım.(C,+) bir grup mudur? i) ve olduğundan ’dır. Yani C kümesi “+” işlemine göre kapalıdır.ii) ‘dir.(Birleşme özelliği) iii) C için ve ‘dir.(Birim eleman) ve ve ve ve O halde birim eleman şeklidedir.iv) ve ’dır.(Ters eleman) ve ve O halde ters eleman olacaktır. v) , C için ’dir.(Değişme özelliği) Bütün bu şartlardan dolayı (C,+) değişmeli bir gruptur.(C, .) sistemi bir grup mudur? i) için olup C “.” işlemine göre kapalıdır.ii) için olup C kümesinde “.” işlemi birleşme özelliğine sahiptir.iii) için ve ’dır.(Birim eleman) , b’ bilinmeyenlerine göre düzenlenmiş bu denklem sistemini çözecek olursak sisteminin çözümü olabilmesi için yani olmalıdır. Bu şartlar altında sistemin çözümü ; ve olmalıdır. O halde çarpma işlemine göre birim eleman’dir.Aynı işlemleri içn de yaparsak yine aynı sonucu buluruz.iv) için ve ’dir.Yine aritmetik işlemler yapacak olursak ’nin tersi () olacaktır. Kompleks sayılar cümlesinde sıfır hariç her elemanın tersi vardır.v) için Yani C cümlesinin “.” işleminin değişme özelliği vardır.O halde (C, . ) sistemi de değişmeli bir gruptur.(C,+, . ) sistemi bir halka mıdır?(C,+) değişmeli gruptur (bunu daha önce gösterdik). için (bunu daha önce gösterdik). için Aynı işlemleri tekrar edecek olursak olarakbulunacaktır.O halde (C,+, . ) sistemi bir halkadır.4) C cümlesi R cismi üzerinde toplama ve skalerle çarpma işlemine göre bir vektör uzay mıdır?Skalerle çarpma işlemi:. : şeklinde tanımlıdır. ve için(C,+) değişmeli bir gruptur. iii) iv) v)C cümlesinin sağladığı bütün bu şartlardan sonra C, R cismi üzerinde bir vektör uzaydır.5) C halkası değişmeli ve birimli bir halka ve sıfırdan farklı her elemanın tersi olduğundan aynı zamanda bir cisimdir.6) Her cisim bir tamlık bölgesi olduğundan C cismi de bir tamlık bölgesidir. Önerme: C, R’yi kapsayan bir cisimdir.İspat: C’nin cisim olduğunu daha önce göstermiştik. için elemanı için alınırsa olur ki bu da demektir.Cebirsel yapının korunduğunu göstermek için de dönüşümü tanımlayalım. F dönüşümü bir izomorfizmdir. İlk önce ’nin bir homomorfizm olduğunu göstermeliyiz.olur. için olup , 1-1’dir. için olduğundan örtendir.Dolayısıyla dönüşümü bir izomorfizmdir ve C ile R izomorfik halkalardır. ’dir.
