Sunum İçeriği

KÜMELERİstenilen özellikte elemanların oluşturduğu topluluğa küme denir “yaz mevsimi ayları” bir küme belirtir{Haziran,Temmuz,Ağustos} bu kümenin elemanları olup liste biçiminde yazmadır.A={x|xZ ve 3<x<6} kümesinin ortak özellik yöntemi ile yazılmış olup A={4,5} dir liste yöntemi ile yazılmıştır Boş Küme ;Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } veya O ile gösterilirÖrnek ;B={x|xZ x2=-9} kümesi boş kümedir Çünkü karesi –9 olan tam sayı yoktur. Yani={ } dır Tanım :Bir A kümesi eleman sayısına nicelik sayısı denir ve S(A) ile gösterilir Örnek : A={3,2,C,1}S(A)=4 B={ } ise S(B)=0Veen Şeması ile gösterme ;Örnek ;A={Ali,Veli,Hassan} ise A kümesinin veen şeması ile gösterimi aşağıdaki gibidir .Ali.Veli.Hasan AAlt Küme A kümesinin, bazı elemanları alınarak oluşturulan B kümesine A nın alt kümesi denir ve BA ve AB ile gösterilirÖrnek ;A ={x|xZ ve x2-9=0}B={x|xZ ve -4≤x≤4} kümeleri için ;=x2-9=0=x2 =3 dür =A={-3,3}B={-4,-3.-2.-1,0,1,2,3,4} olduğundan AB veya BA dır Tanım ; Bir kümenin kendisinden farklı her altkümesine bu kümenin özalt kümesi denir küme her kümenin alt kümesidirEşit Kümeler ;Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit küme denir Örnek ;M={0,1,2,3,4}N={x|xZ –1<x<5}N={0,1,2,3,4} M=N dır Tanım ;Elemanları sayılabilen çoklukta olan kümelere sonlu kümeler denir sayılamaz çoklukta olan kümelere sonsuz kümesi denilmektedir.Not ;Her A kümesi AA dır O A dır AB ve BC ise AC dırA kümesi için S(A)=n ise alt küme sayısı 2n özalt küme sayısı 2n-1 dir Örnek ;A={2,{2},a,5} ise A kümesinin alt ve özalt küme sayıları kaçtır?S(A)=4=n dırAlt küme sayısı 2n den 24=16 dür Özalt küme sayısı 2n-1 den 24-1=15Örnek ;A={2,3,5,7,11,14}B={x| xA x tek sayı} ise S(B) kaçtır?B={3,5,7,11} S(A)=4 dür Örnek ;A={1,2,3,4} , B={1,2} B şartına uyan tüm M kümelerini bulunuz?M={1,2} M={1,2,3} M={1,2,3,4} M={1,2,4} yazılabilir Kümelerde İşlemler Tanım ;A ve B kümeleri elemanların oluşturduğu kümeye A ile B nin” birleşimi” denir ve AB ile gösterilir oluşan bu AB kümesinin elemanları A nında olabilir B ninda olabilir U nın özellikleri;1.A;B2.A,A=A3.A4.AÖrnek ;A kümesinin en sade halini bulunuz?ABB dırKümeleri Keşişimi ;A ile B ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye bu iki kümenin ara kesiti denir ve Aile gösterilir A kümesinin elemanları hem A nın hem de B nin elemanlardır AÖrnek ;A={1,2,a,b} B={3,2,3,}A={2,a}Tanım ;Ortak elemanı olmayan iki kümeye “ayrık kümeler”denir yani arakesiti boştur .Örnek ;A={2,3,8} B={1,5} A=O A ve B ayrık kümelerdir nin özelikleri 1. 2. 3. 4. 5. Not : 1) s(A 2) s(AÖrnek ;36 kişilik bir sınıfta her öğrenci İngilizce ve Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir İngilizce bilenlerin sayısı 23, Fransızca bilenlerin sayısı 18 ise bu sınıf da kaç öğrenci her iki dili bilmektedir?36=23+18-x x=5 dır Evrensel Küme ;Bütün kümeleri kapsayan en geniş kümeye “evrensel küme” denir Tümleme ;Evrensel kümesinin bir A alt kümesi için a ya alt olmayan elemanların meydana getirdiği kümeye A nın Tümleyeni denir ve A’ ile gösterilir Özelikler ;E evrensel küme ve AE İÇİN1.E 5.E’=O2.E 6.(A’)’=A3.O’=E 7.A4.A’=E 8.A ise dırDemorgen kuralları; Örnek ;E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,}A’={2,3,5,6,7,9}B={1,3,5,7}Kümeleri için B’={2,4,6,8,9}A’{2,3.4.5.6.7.9.} dırNot ; E evrensel küme ve Aiçin s(A)+s(A’)=s(E) dırÖrnek ;E evrenesel küme ve A , için S(A)+s(A’)=19 ,s(B’)+s(A)=23 s(C’)=17 s(C) nedir ?S(B) +s(A’)+s(B’)+s(A)=19+23S(E)+S(E)=422.S(E)=42=s(E)=21s(C)+S(C’)=S(E)=s(C)+17=21 S(C)=4 olurÖrnek:A kümesinin 63 tane özalt kümesi varsa evrensel küme kaç elemanlıdır?A=15+1 s(A)=4A’=64 s(A)=8 S(E)=s(A’)+s(B)S(E)=8+4=10Örnek:36 kişilik bir sınıfta matematik den geçenlerin sayısı 3 fizikten geçenlerin sayısı 7 dir hem matematik hem de fizikten geçenlerin sayısı 1 olduğuna göre her iki dersten den kalanların(geçemeyenlerin) sayısı kaçtır?S(A =3+7-1=9S(E)=36-9=27 olur Örnek:A={1,2,3,4,5} kümesinin alt kümesinde kaç tanesinde 5 elemanı bulunur 2n=25=32 A kümesinin alt küme sayısı 24=16 A nın 5 dışındaki elemanlarının alt kümesi sayısı 32-16=16Örnek:E evrensel küme için AE için S(AS(A’)=9S(B’)=5S(E)=16 ise s(AUB) sayısı kaçtır ?S(E)=s(A’)+s(A)16=9+7s(E)=S(B’)+S(B)16=9+11S(B)+S(A)-S(AB)=S(AUB)11+7-4=14 dırÖrnek;Bir sınıfın mevcudu 45 dir bunlardan 20 si santranç 35 hentbol 15 de hem satranç hem de hentbol oynamaktadır bu sınıfta kaç öğrenci i satranç nede hentbol oynamamaktadır?S(AUB)=S(A)+S(B)-S(A)45=20+25-15==40 Mevcut 45 idi45-40=5 kişidir.İki küme farkı ;A ve B kümesi için A da olup B de olmayan elemanların kümesi A/B veya A-B ile gösterilir A/B={X|,XA}A/B≠B/A Örnek:3.4. 5.6,7.1.2.8. A CB 9. D A/B={1,2}A/C={1,2,3}A/D={ }D/A={5.5.6.7.8.9}C/B={6.7}Özelikler ;1.A-A={ }2.A-{ }=A3.E/A=A’4.{ }-A={}5.A-B=AÖrnek:(A/B)UB=AUB olduğunu gösteriniz?(AB’)UB(AUB)U(B’UB)AUBE=AUBÖrnek:A/(A/B) ifadesi nedir?A/(AB’)= A(AB’)’=A (A’UB)=(A’)U(AB)=OU (A)= (A)Örnek: A ve B iki küme S(A/B)=2.S((A)S(B/A)=.S(A)S(AUB)=27 ise S(B/A)=?S(A)=xS(A/B)=2xS(B/A)=.3x=27=2x+X+27.2=9x=54=9xX=6S(B/A)==9Örnek:S(AUB)=20S(A)=11S(B)=15S(A/B)=?S(AUB)=S(A)+S(B)- S(A)20=11+15-XX=6A=11-6=5B=15-6=9A/B=5 olur