Sunum İçeriği

Logaritma2376170-2540000Üstel fonksiyona gerçek sayı, n pozitif tam sayı ise, an = a.a.a. … . a dır.an sayısında üslü sayı, a ya taban , n ye üs denir.an sayısı, "a üssü n" diye okunur.n z+ ise an a.a . … a,n z- ise an 1a-n ,n 0 ise an a0 1 a 0,n z+ ise a1/ n x a xn ,m/n q ise am/n a1/n m dir.Sıfırdan farklı a gerçek sayısı için, a0 1 dir.2880360103505002-5 , 2-3 , 20 , 22/3 gerçek sayıları, üstlü gerçek sayılardır.Pozitif a gerçek sayısı için, üstleri irasyonel sayı olan a2 , a-2 , a gibi sayılar da üslü gerçek sayılardır. Pozitif bir gerçek sayının rasyonel kuvvetleri birer gerçek sayıdır. Bu sayıların çarpımı ve bölümüne ait özellikleri biliyoruz a, 1 den farklı pozitif gerçek sayı, x sayısının görüntüsünün ax üstlü sayısı oldugunu belirten fonksiyonu tanımladım.-13716013208000tanıma IR+ ve a 1 olmak üzere, f : IR IR+, f(x) = ax biçiminde tanımlanan f fonksiyonuna, üstel fonksiyon denir.f üstel fonksiyonuna göre, x gerçek sayısının (degişkenin) görüntüsü, ax üslü gerçek sayısıdır.a pozitif gerçek sayı olduğundan, her x gerçek sayısı için f (x)= ax > 0 dır.Örnekf(x)= 2x ile tanımlı, f: IR IR+ üstel fonksiyonu veriliyor.f(1), f (1/2), f(-1), f(0), f(-3) degerlerini bulalımÇözümf(x) = 2x f(1)=21=2, f(1/2)=21/2 =2 1,41 … , f(-1)=2-1=1/2, f(0)=20=1, f(-3)=2-3=1/23=1/8 bulunur. Üstel fonksiyon, üslü ifadelerde gördüğümüz bütün özellikleri IR üzerinde sağlar.a,b IR+ , a1, b1 ve x,y IR için aşağıdaki özellikler vardır:1. ax.ay=ax+y, 2. (ax)y=ax.y, 3. (a.b)x=ax.bx, 4.ax/ay=ax-y,5.(a/b)x=ax/bx , 6.ax/ay=1/ay-x, 7. a0=1, 8. (1/a)x=a-x9.aIR+ ve a1 olmak üzere, ax=ay x=y, 10. a,b IR+ ve x0 olmak üzere, ax=bx a=b dir.Gerçek sayıların pozitif üstleri için geçerli olan özellikler, negatif üsler için de geçerlidir. Yani, a , b IR / {0} ve x,yZ+ için:1. a-x.a-y=a-(x+y) 2. (a/b)-x =a-x/b-x 3. (a-x)-y =a(-x)(-y) =ax.y 4. a-x/a-y=a-x+y=ay-x5. (a.b)-x=(a-x) (b-x) 6. a-x /a-y=1/ax-y dir. Üstel fonksiyonun grafiği Grafik bakımından f üstel fonsiyonunu15087604191000 f={(x,y) y = ax, x IR }Biçiminde düşünelim f fonksiyonunun görüntü kümesi IR+ olduğuna göre, f fonksiyonunun grafiği,düzenlemede x ekseninin üst bölgesindedir ve (0, 1) f dir. a >1 ise f(x) = ax fonksiyonunun eğrisi ve değişim tablosu aşağıdaki gibidir.3520440158750059436010731500 y22402805270500x - -1 0 1 + y = ax-457208001000 a >1 3977640116840003794760116840003611880116840001691640254000068580025400001143000254000014173202540000y=f(x)=ax 0 1/a 1 a + (x, ax)402399597790003794760895350036118808953500402399513462000 a 38411158001000402399517145000251460087566500 384111511684000 1 38411151536700040239956223000 315468053975003337560539750040239959906000 1/z 31095954445000384111544450004023995135890003109595812800038411158128000 x -1 0 1 xgrafikte gördüğümüz gibi f fonksiyonu artandır. Buna görex1 < x2 için ax1 < ax2 dir.f(x) = ax fonksiyonunun degeri, x değişkeni arttıkça artar. x değişkeni azaldıkça azalır. x = 0 iken ax = a0 = 1 olur. f : A B fonsiyonunda, x1,x2 A ve x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise, f fonksiyonuna, artan fonsiyon denir.Eger 0 < a < 1 ise x değişkeni artarken, f(x) = ax fonksiyonunun değeri azalır. Buna göre fonksiyonun değişimi tablosu ve grafiği ni aşağıdaki gibidir3886200140970005943604953000 yx - -1 0 1 +-4572011366500 y=ax315468059055001783080590550015087605905500114300059055007772405905500y=f(x)=ax 0 1/a 1 a + 0 < a < 1 370332010541000352044010541000 1/a 34753559588500347535513271500 13475355169545004160520698500039776406985000 a (x,ax)448119560325004206875603250034753556032500448119597155004206875971550034753559715500 x 2606040-254000 -1 0 1 x f: A B fonksiyonunda, x1,x2 A ve x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise, f fonksiyonuna,azalan fonsiyon denir. Üstel fonsiyonun bire birliği be örtenliğif(x) = ax üslü fonsiyonu için,f(x1) = ax1 ve f(x2) = ax2 dir.f(x1) = ise ax1 ve ax2 veya x1 = x2 dir. x1, x2 IR ve x1x2 için, f(x1)f(x2) olduğundan, f fonksiyonun bire bir fonksiyondur.y IR+ için, f(x) = y olacak biçiminde x gerçek sayısının varlığı gösterilebilir. Öylese, f üstel fonksiyonu örten fonsiyondur.Logaritma fonksiyonuBire bir ve örten fonksiyonların terslerinin de bire bir ve örten fonksiyon olduğunu biliyorum. Üstel fonsiyonun bire bir olduğunu görmüştüm. logoritma fonksiyonu,bire bir ve örten olan üstel fonksiyonun ters fonksiyonudur.-457207683500tanıma IR+ ve a 1 olmak üzere, bire bir ve örten olan , f: IR IR+ , f(x) = ax üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna , a tabanına göre logarima fonksiyonu denir. a pozitif gerçek sayı a 1 olmak üzere, a tabanına göre logaritma fonksiyonu, loga ile gösterilir. Üstel fonksiyonun tanım kümesi IR gerçek sayılar kümesi, deger kümesidir IR+ pozitif gerçek sayılar kümesidir. logaritma fonksiyonunun tanım kümesi, IR+ pozitif gerçek sayılar kümesidir. Değer kümesi, IR gerçek sayılar kümesidir. buna göre, a pozitif gerçek sayı 1 den farklı olmak üzere, a tabanına göre logaritma fonksiyonu,f: IR IR+; f(x) = ax ise f-1 : IR+ IR; f –1(x) = loga x = y dir. logax yazılışı, "logaritma a tabanında x" diye okunur.Logaritma fonksiyonunun grafiği Bir fonksiyon ile ters fonksiyonunun grafiklerinin y = x doğrusuna göre simetrik olduğunu biliyoruz. bundan yararlanarak, y = logax fonksiyonunun grafiğini, y = ax üstel fonksiyonunun grafiğinden kolayaca elde edebiliriz. a tabanına göre logaritma fonksiyonunun grafiğini inceleyelim: 1. a > 1 olmak üzere,loga : IR+ IR x y = logax fonsiyonunun grafiğini çizelim:37947607239000 y a > 1 32461205461000 y = ax y= x 3246120000594360000x 0 1/a 1 a +-1371601187450041154351092200039776406413500379476064135001874520641350016002006413500123444064135008686806413500y=f(x)=ax - -1 0 1 + a411543513652500379476012827000411543517335500 y=loga 475551511874500470916073660004526280736600043434007366000416052073660003977640736600037947607366000 (0, 1) 47555151555750041154356413500411543510096500 02971800127000 (1, 0) a x1, x2 IR+, x1 < x2 y1 < y2 logax1 < logax2 olduğundan, a > 1 ise a tabanına göre logaritma fonksiyonu, artan fonksiyondur.2. 0<< a < 1 olmak üzere,loga :IR+ IR x y = logax fonksiyonunun grafiğini çizelim:0 < a < 1 y= ax31546802667000370332026670003886200889000594360000x 0 1/a 1 a + y = x31546803619500-137160127635001965960730250016916407302500132588073025009601207302500y=f(x)=ax - -1 0 1 +4023995182245003977640457200037947604572000 (0,1)4023995730250043434006477000416052064770003977640647700037947606477000402399510985500 a 4389755552450040239951466850043897559207500 43897551289050040239953746500 049383951663700024231602984500 a (1,0) 1/a 4938395571500048920404889500470916048895004526280488950043434004889500416052048895003977640488950037947604889500 -1 y=logaxx1, x2 IR+, x1 < x2 y1 > y2 logax1 > logax2olduğundan 0 < a <1 ise a tabanına göre logaritma fonksiyonu azlan fonksiyondur.Örnek:f: IR+ IR f(x)=log3x fonksiyonun tersinin grafiğini aynı analitik düzlemde çizelim ve aşağdaki soruları cevaplayalım.a. f(x) ve f –1 (x) fonksiyonların garfikleri, y = x doğrusuna göre simetrik midir?b. f(x) = log3x fonksiyonu artan mıdır?c. f –1(x) fonksşyonu artan mıdır?d. f (x) fonksiyonu altında, görüntüsü pozitif olan ree sayıların kümesini yazalım.e. f –1 (x) fonksiyonu altında, görüntüsü negatif olan reel sayıların kümesini yazalım. Çözüm: f: IR+ IR, f(x) = log3x ise, f –1 : IR IR+, f –1 (x) = 3x olur, 502920869950010515605588000 y=3x 1874520127000 11430007493000 y =x 219519565405001965960203200021488402032000 3 219519510223500 18745209398000219519513906500 2 219519517589500 2743200121285002697480762000025146007620000233172076200002148840762000019659607620000 1 y=log3x27432001581150021945606667500219456010350500 0 960120381000 1 2 3 a. f(x) = log3x ile f –1 (x) = 3x fonksiyonları birbirlerinin ters fonksiyonları olduğundan, y = x doğrusuna döre simetriktir.b. f(x) = log3x fınksiyonu artandır. Çünkü, her x1 < x2 için, f(x1) < f(x2) olmaktadır. (a > 1 için, logax fonksiyonu artandır.)c. f –1 (x) = 3x fonksiyonu da artandır. (tabanı birden büyük olan pozitif reel sayıların üsleri büyüdükçesayıda büyür.Bu durum,fonksiyonun grafiğinde açıkca görülebilir.)d. f(x) = log3x fonksiyonu altında, görüntüsü pozitif olan reel sayıların kümesi, (1 ,) aralığıdır.e. f –1 (x) = 3x fonksiyonu altında, görüntüsü negatif olan reel sayı yoktur.Örnek : 32 saysısının 2 tabanına göre logaritmasını bulalım Çözüm: log232 = y 2y = 32 (tanım) 2y = 25 y = 5Örnek : 2 tabanına göre 1/3 olan sayıyı bulalım. Çözüm: log2x = 1/3 x = 21/3 x = 32 Örnek: f : (-1,+) IR, f(x) log2 (x+1) fonksiyonu için f –1 (x) kuralını ve f –1 (5) değerini bulalım.Çözüm: 1. yol f(x) = y = log2 (x + 1) fonksiyonunda x yerine y, y yerine x yazalım.log2 (y + 1) = x olup 2x = y + 1 ya da y = 2x – 1 olur.Buradan, f –1 (x) = 2x – 1 bulunur. f –1 (x) = 2x – 1 f –1(5) = 25 – 1 = 32 – 1 = 31 dir.2.yolf –1(5) = a f(a) = 5 tir.f(a) = log2(a + 1) =5 olup 25 = a + 1 den, a = 32 – 1 = 31 bulunur. buna göre , f –1 (5) = 31 olur. Onluk logaritma fonksiyonu Tabanına a = 10 olan logaritma fonksiyonuna, onluk logaritma fonksiyonu (yada bayağı logaritma fonksiyonu) denir. onluk logaritma fonksiyon, log10: IR IR, f(x) = y = log10x =log x tir.Herhangi bir karısıklığa meydan vermedikçe log10 yerine log kullanılırÖrnek: log100, log10, log1/10 degerlerini bulalımÇözüm:100 = 102 , 1/10 = 10 –1 log = log10102 = 2log10 = log1010 = 1log1/10 = log1010 –1 = -1 Dogal logaritma fonksiyonu Neper tarafından logaritma için taban olarak e sayısı, seçilmiştir. e sayısı, yaklaşık değeri 2,71828182845 olan irrasoyonel bir sayıdır ve bilimsel hesaplarda çok kullanılır. Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir. "In" biçiminde gösterilir;yani loge = In dir. buna göre, loge : IR+ IR, f(x) = y = logex = In olur In: IR+ IR, y = In x fonksiyonunun grafğini çizelim: Inx = logex ve e = 2,718281… dirFonksiyonun değişim tablosunu ve ğrafini çizelim 5029205715000 x 0 1/e 1 e +-13716047625002240280-6985001783080-6985001325880-698500868680-698500y = Inx - -1 0 1 + 1508760129540002880360254000 y 31546809525000 y = In4069080774700039776407747000379476077470003611880774700034290007747000324612077470003063240774700028803607747000 1406908011430000 1/e 16916409652000324612096520004069080508000 x324612013335000 0 1 e 10 29718001155700032461202413000315468011557000 -1 Logaritma fonsiyonunun özelikleri -457207048500Torem: a ve a IR+ için: a. logaa = 1 b. loga1 = 0 İspat: a. logaritma fonksiyonunun tanımına göre logaa = t at = a t = 1 olur. (a1 = a) logaa = 1 dir. log1010 = 1, log33 = 1, Ine = logee = 1 dir b. loga1 = p ap = 1 =0 olur. (a 0 için, a0 =1 öyleyse, loga1 = 0 dır log1010 = 0, log21 = 0, loge1 = 0 dır. Pozitif iki reel sayının çarpımının logaritması 228600698500 Teorem: x, y IR+ için loga(x.y) = logax + logay dir. pozitif iki sayının çarpımının logaritma, bu sayıların logaritmalarının toplamına eşittir İspat p ve q sayılarını alalım. p nin a tabanına göre logaritması x, q nun a tabanına göre logaritması y ise, x = logaq olup ax = p ve ay = q dur. ax = p, ay =q eşitliklerini taraf tarfa çarpıp, x = logap, y = loga q eşitliklerini de taraf tarafa toplayalım: 1. ax . ay = p . q ax + y = p . q logaax + y = logap . q x + y = logap . q dur. 2. x = loga p32004018161000 + y = loga q x + y = loga p + loga q dur. 1 ve 2 den, loga p . q = loga p + loga q olur. x,y,z reel sayıları için, loga(x . y . z) = loga x + logay + logaz olduğunu gösterelim; loga(x . y . z) = loga[(x. y) . z] = loga(x . y) + logaz = loga x + loga y + loga z olur. Aynı şekilde devam edilerek, loga(x . y . z . … . t) = loga x + loga y + loga z + … + loga t olduğu görülür.Örnekler1. log5 15 = log5 (5 . 3) = log55 + log53 = 1+ log53 tür2. log221 = log2 (3 .7) = log23 + log27 dir3.log (a . b . c) = log a + log b + log c dir4.log10 (5200) = log10 (102 . 4 . 13) = log10102 + log104 + log1013 = 2 + log104 + log1013320040-9144000 Teorem: a IR+ \ {1}, ve b IR+ olmak üzere , alogab = b dir. İspat 1. alogab = t olsun eşitliğin her iki yanının atabanına göre logaritmasını alalım: logaalog ab = loga t loga b . loga a = loga t loga b . 1 = loga t b = t olur 1. de t yerine b yazılırsa, alogab = b bulunur. sonuçlar -457204889500 logaritma fonk siyonunun tanımına göre, f(x) = ax ve f –1 (x) = logax için (f o f –1 ) (x) = f [ f –1 (x)] = x alogax = x ; x > 0 (f –1 o f) (x) = f –1 [f (x) ] = x logaax = x tir. Örnek 5log57 = 7 ; 3 –log1/35 = (1/3)log1/35 = 5 tir.22860010985500 sonuç: x > 0 ve y > 0 ise, logx = logay x = y dir. bu özellik, logitrama fonksiyonun bire bir oluşunun sonucudur.22860010731500 Teorem: n Z+ ve x IR+ için, logaxn = n logax tir. İspat1020445-25209500 xn = x . x . x . x . … . x tir. her iki tarafın logaritması alınır. n tane x logaxn = logax + logax + … + logax1478280-57912000 n tane logax68580014097000 logaxn = n . logax olur.Örnek Aşağıdaki eşitlikleri inceleyelima. log3 –3 = –3log3 tür.b. log 800 = log (100 . 8) = log log (102 . 23) = log102 + log23 = 2 + 3 log 2 dir.411480000 Teorem: p, q Z+ ve x IR+ için, loga ( qx)p = p/q logax tir. İspat loga ( qx)p = p . loga qx bir önceki teorem den yazılabilir. loga qx =1/q logax tir. Buna göre,2286001270000 loga ( qx)p = p(1/q logax) = p/q logax .olur Örnek: aşağıdaki eşitliği inceleyelim log 34 = log 322 = log22/3 = 2/3 log23200401778000 Teorem: x IR+ için, loga1/x = –logax tir İspat loga(x . y) = logax + logay teoremine göre, loga(x . 1/x) = logax + loga1/x tir. loga(x . 1/x) = loga1 = 0 dır. logax + loga1/x = 0 olur.8686808636000 Buradan, loga1/x = –logax elde edilir32004010541000 Teorem: x, y IR+ için, logax/y = logax – logay dir. İspat x/y = x . 1/y dir. loga(x . y) = logax + logay teoremine göre, logax/y = loga(x . 1/y) = logax + loga 1/y yazılabilir. loga 1/y = –logay dir. loga(x/y) = logax – logay bulunur. Örnek: log2 = 0,30103 olduğuna göre, log5 in değerini bulalım. (log 2 = log102) Çözüm: log 5 = log10/2 = log10 – log2 = 1 – 0,30103 = 0,69897 olur.4114805651500 Teorem: Her p/g rasyonel sayısı ve x IR+ için log x p/q = p/q log x tir İspat Her p/g rasyonel sayısı için q > 0 varsayılabilir. Böylece, xp/q= (x1/q)p= (qx )p yazılabilir p > 0 ise loga (qx )p = p/q logax teoremine göre logxp/q = log (qx )p = p/q logx elde edilir. p 0 ise loga 1/xn = -n logax teoremine göre, logxp/q = log (qx )p = plog qx yazılır. log qx = 1/q logx olduğu göz önüne alınırsa,50292010795000 logxp/q = p . 1/q logx =p/q logx elde edilir. Örnek: a. x,y,z pozitif gerçek sayılardır. loga x3 y2/ z2 ifadesini, logaritmalarının toplamı ve farkı. biçimde yazalım. b. loga 3+ loga (2x-3) –1/2 loga (x-3) ifadesini, bir ifadenin logaritması biçimde yazalım. Çözüm a. loga x3 y2/z2 = loga (x3 y2 ) – loga z3 = loga x3 + loga y2 – loga z2 = 3loga x + 2loga y-2logaz olur. b.loga3+loga (2x-3) –1/2 loga (x-3) 0 loga3(2x-3) –loga(x-3)1/2 =loga 3(2x-3)/x-3 bulunur. TABAN DEĞİŞTİRME KURALI-4572018097500TEOREM: a,b IR+ \ {1} ve c IR+ için, loga b. logb c = loga c dir. İspatloga b = x ve logb c= y olsun.105156013906500ax = b (ax)y = by axy = c x . y = loga c olur. by = cx ve y yi yerlerine yazalım: -4572012128500loga b . logb c = loga c bulunur. Bu eşitlikten, -4572010350500logb c= logac/ logab sonucuna varılır. Bu eşitliğe taban değiştirme kuralı denir.Sonuç:-1371604064000a ve b, 1 den farklı pozitif gerçek sayılar olmak üzere ,logab = 1/logba ve loga b. logb a= 1 dir. loga b ifadesini , b tabanına göre logaritma ifadesi biçiminde yazalım:Taban değiştirme bağıntısına göre,logab =logbb/logba logab= 1/logba (logbb=1)10515601587500 logab .logba =1 olur.Örnek: x IR; logx 5= a ve logx 7=b ise log49 125 değerini bulalım.Çözüm: logx 5= a ve logx 7=b dir. log49 125 ifadesini x tabanına yazalım:log49 125 = logx125/logx49 = logx53/logx72 = 3. logx5/2.logx 7 =3a/2b elde edilir.Örnek: logax/logabx ifadesinin eşitini bulalım.Çözüm: logax= 1/logxa ve logabx = 1/logxab dir.logax/logabx = 1/logxa / 1/ logxab= logxab/logxa = logxa+logxb/logxa =1+ logxb/logxa = 1+loga b elde edilir.-457208064500Teorem: a,b IR+, m,n IR, a 1, n 0 ise, loganbm = m/n . loga b dir. İspatloganbm ifadesini taban değiştirme bağıntısına göre yazalım :loganbm = logabm / logaan = m/n.logab olur.Örnek: log5/7 3343/125 = log5/7 (343/125)1/3 =1/3 log5/7 (73/53) =01/3 log5/7 (7/5)3 = 1/3 log5/7 (5/7)-3 ( (a/b)n = (b/a)-n dir. ) = - 3/3 log5/7 (5/7) = -1 . 1 = -1 bulunur.Logaritma Fonksiyonunun DeğişimiLogaritma fonksiyonun grafiğini üstel fonksiyon yardımıyla çizmiştik. Bu fonksiyonun ne zaman artan ne zaman azalan olduğunu araştıralım.-457206794500Teorem: a 1 için, f (x) = loga x artan bir fonksiyondur. İspat x1 , x2 IR+ için x1 x2 loga x1 loga x2önermesinin doğru olduduğunu göstermek teoremi ispatlamak için yeterlidir. loga x1 = u ve loga x2 =0 v olsun. loga x1 = u x1 = au loga x2 = v x2 = av dir.Diğer taraftan, a olduğundan, x1 x2 au av u v2423160514350021488405143500 loga x1loga x2 bulunur.-457206096000Teorem: 0 a 1 için, f (x) = logax azalan bir fonksiyondur. İspat x1 , x2 IR+ için, x1 x2 loga x1 loga x2önermesinin doğru olduğunu göstermek yeterlidir.loga x1 = u ve loga x2 =0 v olsun. loga x1 = u x1 = au loga x2 =0 v x2 =0 av dir.Diğer taraftan, 0 a 1 olduğundan,x1 x2 au av u v loga x1 loga x2 bulunur.Onluk logaritmaSayıların 10 tabanına göre logaritmalarına, onluk logaritmalar denir. Sayıların logaritmalarını bulmak için 1 den 10000 e kadar doğal sayıların onluk logaritmalarını veren cetveller hazırlanmıştır. Bu cetvellerin bazıları sayıların onluk logaritmalarını dört ondalık basamağa kadar verir. Logaritmaların büyük çoğunluğu sayıların logaritmalarının yaklaşık değerleridir.Bu kesimde cetvellerin nasıl kullanıldığını öğreneceğiz.Önce, k Q olmak üzere, 10k biçiminde sayıların 10 tabanına göre logaritmalarını cetvelden yararlanmadan bulalım:log10 100 = log10 1 = 0 , log101/101 = log10 10-1 = -1. log10 10= -1log10101 = log1010 = 1 , log10 1/102 = log10 10-2 = -2 . log1010= -2log10 102 = 2.log10 10=2 , log10 1/103 = log10 10-3 = -3 . log10 10 = -3… …Her kQ için log1010k = k. log10 10= k dır.Örneğin;log10 3 100 = log10 3 102 =log10 102/3 =0 2/3 tür.log10 10 3 = 3 , bazı sayıların logaritması irrasyoneldir.-457208318500Teorem: 1 den büyük bir reel sayının onluk logaritması, pozitif bir reel sayıdır. İspatn Z+ ve x IR+ olmak üzere, 1 x 10n olsun1 x 10n log 1 log x log 10n 0 log x n. log 10 (log 10 =1 ) 0 log x n olur.O halde, log x 0 dır. Yani pozitif bir reel sayıdır.-4572010160000Teorem: 1 den jüçük pozitif bir reel sayının onluk logaritması, negatif bir reel sayıdır.İspatn Z+ ve 0 x 1 olmak üzere, 10-n x dir.10-n x 1 log 10-n log x log 1 -n log 10 log x 0 -n log x 0 olur.O halde, log x 0 dır. Yani negatif bir reel sayıdır.Bayağı logaritma fonksiyonu artan bir fonksiyon olduğundan a. 2 < x < 10 0 < log10x < dir. Bir basamaklı bir sayının logaritması 0 ile 1 arasında bir sayıdır.Bir basamaklı bir sayının logaritması, tam kısmı 0 olan bir ondalık kesirdir. Örneğin; log102 = 0,3010 ve log109,38 = 0,9722 dir.b. 10 < x < 100 1 < log10x < 2 dir Başka bir deyişle, iki basamaklı bir sayının logaritması 1 ile 2 arasından bir sayıdır.İki basamaklı bir sayının bir sayının logaritması, tam kısmı 1 olan bir ondalık kesirdir. Örneğin; log1018 = 1,2552 ve log10 19,38 = 1,2871 tür. c. 100 < x < 1000 2 < log10x < 3 Yani, üç basamaklı bir sayının logaritması 2 ile 3 arasında bir sayıdır. Üç basamaklı bir sayının logaritması, tam kısmı 2 olan bir ondalık kesirdir. Örneğin; log10200 = 2,3010 ve log10 193,8 = 2,2873 tür. 1 den büyük bir sayının logaritmasının tam kısmı, o sayının tam kısmandaki basamak sayısının 1 eksiğine eşit olan bi tam sayıdır. Örnek:aşağıdaki sayıların bayağı logaritmaların tam kısmlarını bulunuz a. 3,24759 b.16,75 c.183 d.245 e.25388 f.292300Çözüm:a. log10 3,24759 = 0,… b.log10 16,75 = 1;… c. log10 183 = 2 d. log10 2452 = 3,… e. log10 25388 = 4,… f. log10 292300 = 5,…Bunun gibi, 10 < a < 102 1 < log10a < 2 10 –1 < a < 1 -1 < log10a < 0 10 –2 < a < 10 –1 -2 < log10a < -1ve genel olarak; k Z , a IR+ olamak üzere, 10k–1 < a < 10k (k – 1) < log a < olur. Buna göre, 10k < a < 10k+1 ise log a değerinin tam kısık k dir. 0 < m <1 olmak üzere, log a değerinin ondalık kısım m ise, log a = k + m olur . tam ondalık kısım kısım22860019875500 Teorem: a herhangi pozitif bir gerçek sayı ise, k Z ve 0 < m < 1 olmak üzere, log a = k + m biçiminde yazılabilir. İspat a IR+ syısı için, 10k < a < 10k + 1 eşitsizliğini sağlayan bir ve yalnız bir k Z olduğunu biliyoryz. Burdan, 10k < a < 10k + 1 k < log a < k + 1 olur. m IR ve 0 < m < 1 olmak üzere, log a = k + m yazılabilir.4572018288000 tanım Bir sayının logaritmasının tam kısmına, karakteristik; ondalık kısmına, mantis denir. Her pozitif gerçek sayının onluk logaritmasının karateristiğini (tam kısmını) kolayca buluruz.Mantis (onadalık kısım) için, logaritma cetvelinden yararlanılır.ÖrnekAşağıdaki sayıların logaritmalarının karakteristiklerini bulunuza. 0,5 b.0,0402 c. 0,000888çözüma. 0,1 < 0,5 < 1 log10 –1 < log 0,5 < log1 -1 < log 0,5 < 0 log 0,5 = -1 + m (0 < m< 1) 1 sıfırb. 0,01 < 0,0402 < 0,1 log10 –2 < log 0,0402 < log10 –1 -2 < log 0,0402 < -1 164592013779500 log 0,0402 = -2 + m (0 < m < 1) 2 sıfır tam kısımc. 0,0001 < 0,000888 < 0,001 log10 –4 < log 0,000888 < log 10 –3 -4 < log 0,000888 < -3 20574003746500 log 0,000888 = -4 + m ( 0 < m < 1) 4 sıfır tam kısmı1975485647700051244510160000 O halde, karakteristik –4 tür. bunu 4 biçimin de göteririz . k Z+ olmak üzere, karakteristik –k ise bunu k şeklinde gösteririz. 0 ile 1 arasınsaki bir sayının logaritmasının karakteristliği, sıfırdan farklı rakamın solundaki sıfır sayısının negatif işaretilisidir.-457204826000Teorem: x IR+ ve n Z olmak üzere, log10x ve log10(x.10 n) sayılarının manitisleri aynıdır. İspatlog10x sayısını karakteritiği k, mantisi m olsun.Bu durmda, log10x = k + m ( k Z, 0 < m < 1) olurlog10(x . 10 n) = log10 x + log10 10 n = k + m + n . log10 10 = k + m + n2651760-13843000 =(k + n) + m 1 dir .n Z ve k Z olduğundan, (k+n) Z dir. Bu nedenle, log10 ( x. 10n) sayısının karakteristiği, k+n; mantisi de m olur.-457206413500Bir sayı, 10 un herhangi bir tam kuvveti ile çarpıldıgında ya da bölündüğünde, elde edilen sayıların logaritmalarının mantisleri aynıdır.Örnek:log 313 = 2,4942 ise log 31,3 sayıaının eşitini bulalım.Çözüm:1.yol log 31,3 = log 313 . 10-1 = log 313 + log 10-1 = 2,4942 – 1 = 1,4942 olur.2.yol31,3 sayısı, 313 sayısının 1/10 u olduğundan, bu sayıların logaritmalarının mantisleri aynıdır. log 31,3 sayısının karakteristiği 1 ve mantisi 0,4942 olduğundan, log 31,3 = 1,4942 olur.Örnek:log a = -1 + 0,0201 ise:a. 106 .a b. 10-4 . a sayılarının logaritmalarını bulalım.Çözüm:a. log (106 . a ) = log 106 + log a = 6 + (-1 + 0,0201 ) = 5 + 0,0201 = 5,0201b. log ( 10-4 . a) = log 10-4 + log a = - 4 + ( -1 + 0,201) = -5 + 0,0201 = 5,0201 olur.Örnek:log x = -3,1512 olduğuna göre, log x in karakteristiğini ve mantisi bulalım.Çözüm: log x sayısını, bir k tam sayısı ile sıfırla bir arasında bir m gerçek sayısının toplamı olarak yazmamız gerekir. log x = -3, 1512 = -3 + (-0,1512) = -3 + (1 – 0 ,1512) –1 = -4 + 0,8488 = 4,8488log10 x sayısının karakteristiği –4, mantısı 0,8488 dir.Mantis negatif olmaz. Bunun için eşitliğinin sağ tarafına 1 I bir defa ekleyip, bir defa da çıkarttık.Örnek:log 0,00843 = -2,0742 ifadesinin karakteristiğini ve mantisini bulalım.Çözüm:log 0,00843 = - 2,0742 ifadesi log 0,00843 = - 2 – 0,0742 şeklinde yazılır.Mantis negatif olmaz. Eşitliğin sağ tarafına 1 I bir defa ekleyip, bir defa da çıkaralım:log 0,00843 = (- 2 –1 ) + ) ( 1- 0,0742) = -3 + 0,9258 şeklinde yazılmış olur.log 0,00843 ün karakteristiği –3 ve mantisi de 0,9258 dir. -4572063500 Logaritma hakkında ek bilgi1. Sıkı pozitif bir x gerçek sayısının a tabanlı ( ya da a tabanına göre ) logaritması ( a, 1 den faklı sıkı pozitif gerçek sayı ), ay = x olan pozitif y gerçek sayısı. ( Bu sayı y = loga x ile gösterilir, bu, loga biçiminde gösterilen a tabanlı logaritma fonksiyonuyla x in görüntüsüdür. Sayısal hesapta en çok kullanılan taban 10 dur; bu durumda log x biçiminde gösterilen, x in ondalık logaritma fonksiyonuyla görüntüsü olan x in ondalık logaritmasından söz edilir.Tabanın e gerçek sayısı olması halinde ise; log x ya da In x ile gösterilen x in Napier logaritma fonksiyonuyla görüntüsü olan x in Napier logaritmasından söz edilir )2. Logaritma cetveli sayısal hesapta kullanılan ondalık logaritmaların ya da Napier logaritmalarının değerlerini elde etmeye yarayan cetveldir. ( En genel halde cetveller beş ondalıklı yaklaşık değerler verir. Ondalık logaritmalar için cetveller logaritmaların mantislerini vermektir. )Mat. çözlm. Logaritmaların belirtimi logaritma fonksiyonun belirlenmesinin göstermeye yarayan yanlış kullanılmış ifade. a tabanlı logaritma fonksiyonu, IR+ üzerinde tanımlı x Inx/Ina fonksiyonu burada a, 1 den farklı sıkı pozitif bir gerçek sayıdır. (Gösterilişi: loga ) Ondalık logaritma fonksiyonu, 10 tabanlı logaritma fonksiyonu ( Gösterilişleri: log10 , log ya da Ig. ) Napier logaritma fonksiyonu, IR+ üzerinde tanımlanmış ve x 1/x fonksiyonunun, x = 1 için sıfır olan ilkeli. (Gösterilişleri: log,In, kimi kez log ) Ters logaritma, ÜSLÜ’ nün yanlızca 10 tabanı için kullanılan eşanI. ( x, y ondalık logaritması ise y de z in ters logaritmasıdır denir.)ANSİKL. Mat. çözlm. Logaritma fonksiyonları, f ( x.y ) = f (x) + f (y)fonksiyonel denklemin çözümü olarak, ( IR+, x ) ten ( IR, + ) içine, IR+ üzerinde türevlenebilir bir benzer yapı uygulaması olmak koşuluğuyla f arandığında elde edilir.Çözümlerin kümesi,0 < a < 1 ve a > 1 için loga x fk : x k . x 1/t . dtfonksiyonlarından oluşur burada k. keyfi gerçek bir değişmezdir. 0 < a < 1 ve a > 1 için loga x logaritma fonksiyonların değişim tabloları251460012700000-13716012700000315468072390003200407239000için 0 < a < 1 için a > 130632405461000 4114801778000 x 0 a 1 + x 0 1 a + 26974806413500-4572045085006858002279650050292013652500 + + 33375609144000315468091440003246120914400059436072390005029207239000 loga x loga x 1 1 0 0 - -