Sunum İçeriği

Logaritma Fonksiyonunun Özellikleriu = f(x) ise y = log u fonksiyonu (0, +) aralığında tanımlıdır.Bir çarpımın logaritması çarpanların logaritmaları toplamına eşittir. loga.b = loga + logbBir bölümün logaritması bölünenin logaritması ile bölenin logaritması farkına eşittir.’dir.Bir kuvvetin logaritması üsle tabanın logaritması çarpımına eşittir.1. a, b, c R+ olduğuna göre aşağıdaki logaritmaları a,b,c’nin logaritmaları cinsinden yazınız.a) b) c) ÇÖZÜM : Logaritma özelliklerini kullanarak = = = olur 2. Aşağıdaki ifadeler hangi terimin veya sayının logaritmasıdır.a) loga + logb + logc b) log2 + log3 – log4c) 3loga + 2logbd) 3log5 + 2log2e) ÇÖZÜM : Logaritma özelliklerine göre,loga + logb + logc = loga.b.clog2 + log3 – log4 = 3loga + 2logb = loga3 + logb2 = loga3.b23log5 + 2log2 = = = 3. Aşağıdaki eşitliklerden x’i bulunuz.a) logx = loga + logb – 2logc b) logx = c) logx = 2loga + 2logb –logab ÇÖZÜM : Logaritma özelliklerine görelogx = loga + logb – 2logc2 = olup logx = olup,logx = loga2 + lob2 – logab = olup x = ab bulunur.4. f(x) = log(x2 – 2x + 1) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?ÇÖZÜM : Logaritma fonksiyonu (0; +) aralığında tanımlı olduğundan;x2 – 2x + 1 = (x – 1)2 > 0 olmalıdır.x 1 için bu eşitsizlik sağlandığından verilen fonksiyonun tanım kümesi R – {1}dir.5. f(x) = log(2x – 4x2) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?ÇÖZÜM : Logaritma fonksiyonu (0; +) aralığında tanımlı olduğundan;Bu eşitsizliği tablo düzenleyerek çözelim.2x – 4x2 = 0 dan 2x(1- 2x) = 0 x1 = 0 x2 = bulunur.56261025654000 x - 0 ½ +2x-4x2 – + – o halde 2x – 4x2 > 0 olması için 0< x < olmalıdır.Veya (0, ) dir.6. logx = 8 ise login degeri nedir?ÇÖZÜM :olup, log bulunur.7. [in değeri nedir?ÇÖZÜM :[8. log 2 = x, log 3 = y ise log 144 ün değeri nedir.ÇÖZÜM : 144 = (12)2 = (3.4)2 = (3.22)2 = 32 . 24 olup,log 144 = log 32 . 2.4 = log 32 +log 24 = 2log3 +4log2 = 2y + 4x dir.9. log 5 = a, log2 = b ise log in degeri nedir?ÇÖZÜM : 10. ÇÖZÜM : ÖRNEKLERf(x) = log fonksiyonunun tanım kümesi nedir?(-1; 1)[-1; 1)f(x) = fonksiyonunun tanım kümesi nedir?[2;+ )(2 ; +)[1; +)(1 ; +)Tanımsızlog(x +2) + log(x-1) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?(-; -2)[2; +)(-2;1)(1;+ )[1;+ )[0;2] aralığında f(x) = log (sin x) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?(0;) U ()(0;2)[0; ](0; )log (-) ifadesinin değeri nedir?2–2Tanımsızlog x = 1,2 ise logx2 nin değeri nedir?0,61,42,42,13,6f(x) = ise fog (x) nedir?3f(x)(fog-1)(x)f(x) + g(x)f(x) = log x-1(x2 –2x +1), (x – 1> 0) fonksiyonu nasıl bir fonksiyondur.?LogaritmikLineerSabitÜstelFonksiyon değillog3 a = 12 olduğuna göre nin değeri nedir?35b) 36c) 39d) 312e) 31435q-p3p-5q35p-q3q-5p9p-5qlogax = 1 + logay olduğuna göre xin y cinsinden değeri nedir?y-aa +yayf(x) = log fonksiyonunun tersi nedir?4x-11 + 4x1 + 2xd) 1 – 2xe) 1 - 4xf: AR, f(x) = 2x-1 fonksiyonu veriliyor. A = ise f-1(A) kümesi nedir?ÖRNEKLERLogaritma fonksiyonu (0;+) aralığında tanımlı olduğundan, olmalıdır.Bu eşitsizliği tablo düzenleyerek çözelim.56261017970500 x - -1 1 + + - + x < -1 ve x > 1 ise >0 dır. Yani x(- ; -1) U(1; +) olmalıdır.x-2 0 ise fonksiyonu tanımlıdır.x-1 > 0 ise log (x-1) fonksiyonu tanımlıdır.log(x-1) 0 ise fonksiyonu tanımlıdır.O halde yukarıdaki eşitsizliklerin ortak çözümü x > 2 olduğundan fonksiyonun tanım kümesi (2;+) dur.Logaritma fonksiyonu (0;+) da tanımlı olduğundan,x +2 > 0 dan x > -2x - 1 > 0 dan x > 1 olmalıdır.x > 1 ise x > -2 olacağından x > 1 için fonksiyon tanımlıdır.Fonksiyonun tanımlı olması için Sinx > 0 olmalıdır. Ancak (0 ; ) aralığında Sinx > 0 olduğundan fonksiyon bu aralıkta tanımlıdır.log x fonksiyonu x > 0 için tanımlıdır. Burada olduğundan ifade tanımsızdır.logx2 = 2 logx = 2.1,2 = 2,4 bulunur.(fog) (x) = f(g(x)) = log =bulunur8. f(x) = logx-1(x2 - 2x + 1) = logx-1(x-1)2 = 2logx-1(x-1) = olup fonksiyon sabit fonksiyondur.9. x = olup, bulunur.10. bulunur.11. Verilen eşitlikten12. 2x = log2(1-y)22x=1-y y = f-1(x) = 1-22x = 1 – 4x bulunur.f(x) = 2x-1 den y = 2x-1 x = 2y-1 log2 x = y-1 y = 1 + log2x = f-1(x) olupf-1(2) = 1 + log22 = 1 + 1 = 2f-1() = 1 + log2 = 1 + log2 1 – log22 = 1 + 0 – 1 = 0f-1(1) = 1 + log21 =; 1 + 0 = 1 olup f-1(A) = {0,1,2} dir.X FONKSİYONUNUN GRAFİĞİR+ - [0, 3] R, f(x) = log5(x-3) ün grafiğini çiziniz.Fonksiyon x – 3 > 0 dan x > 3 için tanımlıdır.x = 3 için f(3) = log50 = -x = 4 için f(4) = log51 = 0x = 8 için f(8) = log55 = 1x = + için f(+) = log5(+) = + dur.x1,x2 R – [0;3] için x1> x2 ise f(x1) > f(x2) olduğundan fonksiyon monoton artan bir fonksiyondur. Grafik yan taraftadır.+ [0;1] R, f(x) = log7(1-x) in grafiğini çiziniz.Fonksiyon 1 – x > 0 dan x < 1 için tanımlıdır.x = - için f(-) = log7(+) = +x = -6 için f(-6) = log77 = 1x = 0 için f(0) = log71 = 0x = 1 için dur.olduğundan fonksiyon monoton azalan bir fonksiyondur.3. grafiğini çiziniz.Çözüm: Fonksiyon tanımlıdır. dur.olduğundan fonksiyon monoton azalan bir fonksiyondur. 4. nin grafiğini çiziniz.Çözüm: Fonksiyon dan için tanımlıdır. için için için için dur. olduğundan fonksiyon monoton azalandır.5. in grafiğini çiziniz.Çözüm: Fonksiyon –1-x > 0 dan x < -1 için tanımlıdır. dur.olduğundan fonksiyon monoton artandır.log20 – log(x – 1) = 1 denklemine uyan x’ in değeri aşağıdakilerden hangisidir?a) 3b) c) d) –2e) –3ÇÖZÜM: log20 – log(x – 1) = 1 log=log10 (log10 = 1) = 10 20 = 10 ( x – 1 ) 2 = x – 1 x = 3 bulunur.logx + log2 = 1 eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6ÇÖZÜM: logx + log2 = 1 log(2x) = log10 2x = 10 x = 5 bulunur.x R’ dir. logx < 0 olması için x aşağıdaki değerlerden hangisini almalıdır.a) x < 0b) 1 < x <10c) –1 < x < 0 d) 0 < x < 1 e) mümkün değil.ÇÖZÜM: Tanımdan x R için logx < 0 , 0 < x < 1 dir.Aşağıdakilerden hangisi, değişik tabanlı iki logaritma arasında bir bağıntıdır? ( 0 < b < a dır.)a) b) c) d) e) hiçbiriÇÖZÜM: 0 < b < a için idi. O halde, dan bulunur. nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?a) b) 2c) d) e) ÇÖZÜM: () = 1 olur. = . 1 = bulunur.x R’ dir. 0 logx olması için aşağıdaki değerlerden hangisini almalıdır?a) 1 < x < 2b) 1 0 < 10c) 1 xd) 1 < x e) x 1ÇÖZÜM: logx 0 olması için logx = 1 denx R ve x 1 olmalıdır.(1 x )loga = 1,28 olduğuna göre nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?a) 64b) 256c) 96d) 100e)1000ÇÖZÜM: , a nın değeri de yerine yazılırsa, = olarak bulunur.log(tanx) = 0 ise x in en küçük radyan ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?a) b) 2c) d) e) ÇÖZÜM: log(tanx) = 0 ; log1 = 0 olduğundan,log(tanx) = log1tanx = 1x = bulunur.nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?a) b) c) d) be) 1ÇÖZÜM: = x olsun. Her iki tarafın a tabanına göre logaritmasını alalım.()x = b bulunur. ise aşağıdaki bağıntılardan hangisi doğrudur?a) b) c) m = nd) e) ÇÖZÜM: ve , o halde bulunur. ise x in en küçük radyan ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?a) b) c) d) e) ÇÖZÜM: , (log1 = 0 )x = 30veya olur. olduğuna göre nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?a) 0,0030103b) 0,0310103c) 1,30103d) 3,30103e) 2,30103ÇÖZÜM: Mantisleri aynı karakteristiği farklıdır.log 0,002 = 3,30103bulunur.log7,463 = 0,87294 olduğuna göre log7463 aşağıdakilerden hangisidir?a) 1,87294b) 3,87294c) 8,72940d) 4,87294e) 4,87294ÇÖZÜM: Bir sayıyı 10 ve 10 un herhangi bir kuvveti ile çarptığımızda veya böldüğümüzde, sayının logaritmasının mantisi değişmez. Ayrıca, bir sayının logaritmasının karakteristiği ise sayının tam kısmının rakamları sayısından bir eksiktir.Buna göre log7,463 = 0,87294 ise, log7463 = 3,87294 olur. denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?a) b) c) d) e) ÇÖZÜM: (log1000 = 3 )olur.Şekilde olduğuna göre x in değeri nedir?a) b) c) 1d)2e) 5ÇÖZÜM : Şekilde, dir. O halde; logaritma özelliklerinden, bulunur.