Sunum İçeriği

1. MATRİSLER VE MATRİSLERLE İLGİLİ İŞLEMLERMatrisler satır ve sütunlardan oluşan iki boyutlu dizilere denilmektedir. Matrisler tek satır veya tek sütundan meydana geldiğinde buna vektör veya tek boyutlu dizi adı verilmektedir. Matrislerle ilgili işlemler mühendislik konularının içerisinde çok sıkça karşılaşılan problemlerdendir.Matrisler genelde [ ], ( ) ; [A], (A) veya A şeklinde gösterilirler. (1)Matris satır ve sütunlardan oluştuğuna göre yukarıdaki [A] matrisinin satır sayısı ( i ) ve sütun sayısı ( j ) ile gösterilmiştir. Fiziksel olaylarla ilgili tanımlamalarda ve gösterimlerde matrisler genelde kare matrisler olarak karşımıza çıkar.i = j olduğunda matris kare matris0i j olduğunda dikdörtgen matrisi = 1 satır ve j = sütun matrise satır matris,i = satır ve j = 1 sütun matrise sütun matris adı verilmektedir.1. 1 ALT ve ÜST ÜÇGEN MATRİSMatrisin köşegeni üstündeki elemanları sıfıra eşitse alt üçgen matris, matrisin köşegeni altındaki elemanları sıfıra eşitse üst üçgen matris olarak tanımlanır. Aşağıda sırasıyla üst ve alt üçgen matrisler gösterilmiştir.L=(2)U= (3)BİRİM ve KÖŞEGEN MATRİSBirim matris köşegeni üzerindeki elemanları (1) olan matrise denilir. Köşegen matris (diagonal) ise sadece köşegeni üzerinde değer bulunan diğer elemanları sıfır (0) olan matrise denilmektedir. Aşağıda sırasıyla birim ve köşegen matris gösterilmiştir.I=(4)diag (5)1. 1. 3 BANT MATRİSMatris elemanlarının köşegen etrafında belli bir disipline göre dizilmesinden oluşan matrise bant matris denilir. Genelde kısmi türevli denklemlerin çözümünde bu tür matrislerle karşılaşırız. Aşağıda bant matrisin genel yapısı gösterilmiştir. (6)1. 1. 4 DEVRİK (transpoze) MATRİSBir matrisin satır ve sütunlarını değiştirerek elde edilen matrise o matrisin transpozesi denilir ve [A]T ile gösterilir. Simetrik bir matrisin transpozesi kendisine eşittir. (7) (8)DEVRİK MATRİS ÖZELLİKLERİ (TRANSPOZE)1) (AT) T = A2) ( A + B )T = AT + BT3) ( A )T = AT4) (A . B)T = BT . AT 1. 1. 5 SİMETRİK MATRİSBir matrisin transpozesi kendisine eşitse o matris simetrik matris olarak tanımlanmaktadır. Yani birebir satır ve sütun elemanları birbirine eşit matrise denilmektedir. (9)1. 1. 6 KOFAKTÖR MATRİSBir matrisin herhangi bir elemanının bulunduğu satır ve sütun silinerek elde edilen matrisin işaretli determinantı o elemanın kofaktörü veya minörü olarak tanımlanmaktadır. Bu işlem bütün elemanlar için tekrarlanır ve yerlerine konulursa elde edilen yeni matris kofaktör matris olarak bilinir. (10)( ai,j ) = [A] matrisinin ( i ). satır ve ( j ). sütunlu elemanını göstermek üzere,( aij )’ nin bulunduğu satır ve sütun silinir.Geri kalan matrisin işaretli determinantı hesaplanır.Böylece ( aij )’ nin kofaktörü (minörü = Mij) bulunmuş olur. Bir diğer şekilde a ij Kofaktörünü bulmak için aşağıdaki eşitliği kullanabiliriz.Kofaktör ( a ij ) = ( - 1 )i+j . M ij bulunur.Bu işlem adımları bütün elemanlar için tekrar edilerek sonuca gidilir. (11)Kofaktör ( a1,1 ) = (-1)1+1 (12)Kofaktör ( a21 ) = (-1)2+1 (13)Böyle devam edilerek matrisin bütün elemanları için aynı işlemler yapılarak aşağıda gösterildiği gibi bulunan değerler yerlerine konularak Kofaktör A matris elde edilir.Kofaktör (14)1. 7 EK MATRİS ( Adjoint )Kofaktör matrisin satır ve sütunlarının yer değiştirilmesinden (transpozesine) meydana gelen matrise ek matris denilmektedir.Ek matris (Adjoint) [A] = { Kofaktör [A] }T= Ek(A)= Adj (A) (15)EK MATRİSİN ÖZELLİKLERİA . Adj(A) = diag( A,A ,..., A ) = A. I = Adj(A) . AA. Adj(A)= An = Adj(A). AEğer A tekil olmayan bir n-kare matris ise; Adj(A) = An-1 dir.Eğer A, bir n-kare tekil matris ise, A . Adj(A) = Adj(A) . A = 0 dır. Eğer A ve B, n-kare matrisler ise; Adj(A . B) = Adj(A) . Adj(B) dir.1. 1. 8 TERS MATRİS (INVERSE)A ve B n-kare matrisler olsun. Eğer A . B = B . A = I ise B ye A nın tersi ( B = A-1 ) ve A ya da B nin tersi ( A = B-1) denir.Bir n-kare A matrisinin tersinin olması için gerek ve yeter koşul (g.v.y.k), tekil olmamasıdır yani det(A) sıfırdan farklı olmalı).Eğer A tekil değil ise, A . B = A . C ; B = C olur. Tekil olmayan bir diag(k1, k2, ..., kn) matrisinin tersi diag(1/k1, 1/k2, ..., 1/kn) köşegen matrisidir.Eğer A1, A2, ..., As tekil olmayan matrisler ise, diag(A1, A2, ..., As) direkt toplamının tersi, diag(A-11, A-12, ..., A-1s) olur.Genel olarak tekil olmayan bir matrisin tersi aşağıdaki yollardan hesaplanabilir.EK MATRİS (ADJOINT) İLE TERS BULMA:Bir matrisin ek matrisinin o matrisin determinantına bölünmesi ile elde edilen matrise o matrisin ters matrisi [ A ] – 1 denilir. (16 )ARTTIRILMIŞ MATRİS (AUGMENTED) İLE TERS BULMA:[A: I] [ I : A-1 ] Burada A matrisine I birim matris ilave edilerek satır (sütun) işlemleri ile A matrisi yerinde I birim matris oluştuğunda I birim matrisinin yerinde ters matris elde edilmiş olur.CAYLEY HAMİLTON TEOREMİ YARDIMI İLE TERS BULMA:Cayley-Hamilton teoremi: her kare matris kendi karakteristik denklemini sağlar.TANIMDAN HAREKETLE TERS MATRİS BULMA İŞLEMİ:A, n-kare matrisinin tersini bulmak için n-kare boyutlu bilinmeyenlerden oluşan bir matris alınarak; A . B = B . A = I özelliğini sağlayan n2xn2 boyutlu sistemin çözümü ile aranılan değerler bulunarak, matrisin tersi bulunmuş olur.TERS MATRİS ÖZELLİKLERİ (INVERSE)1) A . B = B . A = I ise B = A-1 (inverse matrix) ters matris 2) (A . B)-1 = B-1 . A-13) A nın tersi varsa A . B = 0 B = 0 dır.4) A . A-1 = I 1. 1. 9 ORTOGONAL MATRİSGenellikle eksen dönüşümlerinde kullanılan bu matris tanımlamasında bir matrisin ortogonal olabilmesi için matrisin transpozesinin tersine eşit olması gerekir. [A] = [AT] – 1 ise [A] matrisi ortogonaldir.1.1. 10 BİR MATRİSİN İZİ(TRACE)Bir A n-kare matrisinin a11, a22, ..., ann elemanlarına köşegen elemanları, bu elemanların toplamına da A nın izi denir ve İz A = ile gösterilir.BİR MATRİSİN İZİ İLE İLGİLİ ÖZELLİKLERİz ( A + B ) = İz A + İz BC skaler olmak üzere; İz (cA) = c İz Aİz (AB) = İz (BA)İz ( AAT) 0 1. 1. 11 MATRİSLERDE TOPLAMAMatrislerin toplanması aynı boyuttaki matrisini aynı konumdaki elemanlarının toplanmasıyla gerçekleştirilir.A(mxn) ve B(mxn) türünde iki matris olsun. A + B = C (mxn) türünde olur.aij + bij = cij kuralına göre toplama işlemi gerçekleşir.(17) (18) (19)TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ:1) A + B = B + A = C2) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C3) A + 0 = 0 + A = A 4) A + (- A ) = 01. 1. 12 MATRİSLERDE ÇARPMAMatrislerin birbirleriyle çarpılabilmesi için, birinci matrisin satır elemanlarıyla ikinci matrisin sütunları çarpılarak çarpım sonucu elde edilir. A(mxn) ve B(nxm) türünde iki matris olsun. A B = C (mxm) türünde olur.aip . bpj = cij = kuralına göre çarpma işlemi gerçekleşir.[ Aij] ile [ Bmn ] çarpma işleminin gerçekleşebilmesi için (j = m) olmalıdır. [ C ] = [ A ] . [ B ] ( 20 )ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ:1) kA = [kaij] , kR2) (k1 + k2 ) B = k1 B + k2 B , k1R, k2R3) (A + C) = A + C , R4) 0 . A = 05) I . A = A, I (unity matrix)6) 0 ve . A = 0 A = 0 dır.7) A . B B . A8) A . ( B . C ) = ( A . B ) . C9) aij = bij A = BMatrislerde bölme işlemi yoktur. Ancak matris herhangi bir sayıya bölünebilir. İki matrisin çarpılmasına ilişkin m x n boyutundaki [A] matrisi ile nx1 boyutundaki [B] matrisinin çarpımı için program deyimleri aşağıda gösterilmiştir.[C] = [A]mxn . [B]nx1 (21)DO i =1 TO m DO j=1 TO 1 SUM=0.0 DOFOR k=1 TO n T=T + a ( i , k )*b ( k , j ) ENDDO c ( i,j ) = TENDDOENDDO MATRİLER İLE İLGİLİ ÖRNEKLERÖrnek: olduğunu gösteriniz.Çözüm: Örnek: Çözüm: A(2x3), B(3x2) türünde olduğu için toplanmaz. Anlamsızdır denir.Örnek: olduğunu gösteriniz.Çözüm:Örnek: olduğunu gösteriniz.Çözüm: Örnek: Çözüm:Örnek:Çözüm: olduğundan çarpılamaz. B nin sütun sayısı ile A nın satır sayısına eşit değildir.Örnek:Çözüm: Örnek: Çözüm: Örnek: olduğunu gösteriniz.Çözüm:Örnek: olmak üzere A = B olması için x, z, t ne olmalıdır?Çözüm: a11= x + 2b11 = 3 x + 2 = 3 x = 1 a11= x + 2b11 = 3 x + 2 = 3 x = 1 a22 = zb22 = 2 z = 2Örnek: A = [ r 1 –2] , B = [ 8 2 -1] matrisleri A . BT = 0 eşitliğini sağlayacak şekilde bir r değeri bulunuz.Çözüm: A . BT = [ r 1 –2] * [ 8 2 -1]T = 8r + 2 + 2 = 0 , buradan r = -1/2olarak bulunur.Örnek: olmak üzere A = B olması için x, y ne olmalıdır?Çözüm:x2 = 2x – 1x = 10 = y2 – 5y + 6 y = 2 ve y = 3Örnek: kümesini bulunuz.Çözüm: [[ x]] = [[ 2x ]] ve x = x [[ x]] = [[ 2x ]] 0 x < 1 [[ x ]] = 0 ,x [0, 1/2) olur.0 x < 1/2 [[ 2x ]] = 0Örnek: An bulunuz.Çözüm: olarak elde edilir.Örnek: matrisinin tersini bulunuz.Çözüm:3a + 2c = 1 3b + 2d = 0-a + 6c = 0-b + 6d = 1-a + 6c = 0 dan a = 6c 3a + 2c = 1 dan 3(6c) + 2c =1 c = 1/20, a = 3/103b + 2d = 0 dan b = -2d/3 -b + 6d = 1 dan –(-2d/3) + 6d =1 d = 3/20, b = -1/10 olarak bulunur.Örnek: matrisinin tersini bulunuz.Çözüm:7a + 4c = 17b + 4d = 04a + 2c = 04b + 2d = 1-7a - 4c = -1 8a + 4c = 0 a = -1 c = 2 -7b – 4d = 0 8b + 4d = 2 b = 2 d = -7/2 olarak bulunur.Örnek: olmak üzere (A.B)-1 = B-1. A-1 olduğunu gösteriniz.Çözüm: Örnek:Çözüm: olarak bulunur.Örnek: Çözüm: olur.Örnek: olduğunu gösteriniz.Çözüm:olarak bulunur.