Sunum İçeriği

BÖLÜM 5 : TÜREVSoru-1 : 20262856921500x,x<2 isef(x) =2,x=2 ise x0=24-x,x>2 isevarsa x0 noktasındaki türevini bulunuz. Bu noktada f(x) sürekli midir. olur. olur.olduğundan türevlenemez.Şimdi ise sürekliliğini araştıralımx=2 noktasındaki limitine bakalımolduğundan fonksiyon x0=2 noktasında süreklidir.Soru-2 : f(x)= |x| varsa x0 noktalarındaki türevlerini bulunuz. Bu noktalarda f(x) sürekli midir. x0=2 , Çözüm :x0=2 noktasındaki türevine bakalımşimdi bu limitin varlığını araştıralım0 ve -1 olur.olduğundan x0=2 noktasında türevlenemez.Şimdi ise x0= noktasındaki türevine bakalım. olurx0=2 noktasındaki sürekliliğini araştıralım= ve = olduğundan sürekli değildir.x0= noktasındaki sürekliliği= ve =f()=[||] = 1 olduğundan x0= noktasında süreklidir.Soru-3 : y=y’= ?Çözüm : == = ===Soru-4 : x= y+ arccotyy türevini bulunuz?Çözüm : x-y = arccoty1-y=1-y+y2-y2y=-y1+y2= y2yy=y=1+y-2Soru-5 : exy-x2+y3=0 eşitliğinden y türevinin x=0 değerini bulunuz?Çözüm : exy-x2+y3=0 eşitliğinden y3=x2+exy f(x)=y diyelim y=f(x) olur.x=0 y=-1f(0)=-13y2.y=2x-(exy)(exy) = y.exy3y2.y=2x-y.exyy=x=0 y=-1 için y=y=Soru-6 : Aşağıdaki eşitliğin ytürevini bulunuz?x2-y2 =a2Çözüm :159131029845000184340519050000x2-y2 =a2 2x-2yy=0y= 1-(y)2-y.y”=0166052545339000y= -a2y=Soru-7 : Aşağıdaki paremetrik denklemlerde verilen fonksiyonların türevlerini bulunuz.x=2t-1y=t3Çözüm : a) x=h(t)y=k(t) olsunolacağından olur.211772512954000Soru-8 : f(x)=f : R+ R fonksiyonun türevini bulunuz?Cevap : y=lny=ln (lny)= (ln)=(xx) lnx)’ =(xx)’.lnx +(lnx)’. (xx) =(xx)lnx+. xx(xx) in türevi bulmuştuk(xx) = xx(lnx+1)=xx (lnx+1).lnx +xx. = xx[(lnx+1)lnx+)]y= y. xx((lnx+1)lnx+) y’=. xx((1+lnx)lnx+)f(x)=y=((1+lnx)lnx+)211772511112500Soru-9 : f(x)=xtanx f : R+ R fonksiyonunun türevini bulunuz? Cevap : -(x) = y = xtanx Her iki tarafın ln’ini alalım.lny = lnxtanxlny = tanx . lnx Her iki tarafın türevini alalım.(lny)=(tanxlnx) (lny) = (tanx) lnx + (lnx) tanxSoru-10: fonksiyonunun n.mertebeden türevini bulunuz.Cevap : n=1.mertebeden türevi n=2.mertebeden türevin=3.meretbeden türevin=n.mertebeden türeviBuradan da görülür ki; olur.Soru – 11: f(x) = x(1+x)-1/2 olsun. n 2 için olduğunu gösteriniz.Çözüm :n 2 olduğundan, f(n)(x)=.............şeklinde yazılır.Soru –12: f(x) = x.ee/a olduğunda dır. Gösteriniz.Çözüm : f(x) = x.ex/a olduğundan olur.Soru – 13: f(x) = x3 olduğuna göre f30(x) = ?Çözüm :Çarpım türevin genel ifadesiy = f(x) . g(x) y’=f’(x).g(x) + f(x) . g’(x) şeklindedir.y = x3 . sinxy1 = 3x2.sinx + x3.cosxy2 = 6x.sinx + 6x2.cosx-yy3 = 6-sinx + 12xcosx – y1y4 = 18cosx-12x.sinx-y2y5 = -30sinx-12x.cosx-y3y6 = -42.cosx + 12x.sinx-y4y7 = +54.sinx+12x.cosx-y5y8 = 66.cosx-12.sinx-y6cosx = a, x.sinx = b derseky8 = 66.a – 12b-y5 olur.Burada dikkat etmemiz gereken husus y4, y8 türevlerinde a’nın katsayısının düzenli olarak 4’ün katı olan türevlerinde 48a ekleneceği olayıdır.y8=66a – 12b-y6y12=114a – 12b – y10y16 = 162a – 12b – y14y20 = 210a – 12b – y18y24 = 258a – 12b – y22y28 = 306a – 12b – y26a = cosx, b = x.sinx değerlerini y28 de yerine yazarsaky28 = 306cosx – 12x.sinx – y26y29 = -318sinx – 12x.cosx – y27y30 = -330cosx – 12x.sinx – y28O halde f30 (x) = -330cosx + 12xsinx – f28(x)Soru – 14: y = x – 6x3 + 2 eğrisine teğet olan ve y = -6x – 2doğrusuna paralel bulunan denklemi denir?Çözüm : Verilen eğrinin x0 noktasındaki türevi teğetlerin eğilimini verir. Zaten teğetten y = -6x – 2 doğrusuna paralel oldukları için teğetlerin eğimi –6’dır. m = f’(x0)-6 = f’(x0)-6 = (x-6x3 + 2)1İki ayrı nokta elde ettik. Demek ki eğriye teğet olan iki doğrumuz var.Doğruyu şimdi bulalım:y – y0 = m . (x-x0) genel doğru denklemidir. değerini eğri denkleminde yerine yazarsaky – y1 = m (x-x1) yani 1. doğrumuzdoğruyu bulalım.y – y2 = m(x-x2) genel doğru denklemidir. değerini eğri denkleminde yazarsaky – y2 = m = (x-x2) O halde 2. doğrumuzSoru – 15: eğrisine orjinde teğet doğrunun denklemi neri?Çözüm : (y – y0) = f’(x0) . (x – x0) ‘dır. doğrusudur.Soru-16 : x2+4y2=4 elipse teğet olan ve (4,0) noktasından geçen doğruların denklemlerini yazınız?Çözüm : M(x,y0) noktasından geçen bir d doğrusunun eğriyi iki noktada kesmesi için =0 olmalıdır.Bu doğruların genel denklemleri y-y0=m(x,x0) ile gösterilebilir o halde;y-y0=m(x,x0)y=m.(x-4) çember debklemlerinde yerine yazılırsax2+4y2=4=0 x2+4(m.(x-4))2-4 = 0x2+4m2.(x-4)2-4=0 x2+4m2.(x2-8x+16)-4=0x2+4m2.x2-4m2.8x+4m2.16-4=0(1+4m2).x2-32m2x+64m2-4=0=b2-4.a.c=0=(-32m2)2-4.(1+4m2).(64m2-4)=0=1024m4-4.4(1+4m2).(16m2-1)=0=1024m4-16.(16m2-1+64m4-4m2)=0=1024m4-16.(12m2-1+64m4-1)=0=1024m4-192m2-1024m4+16=0=-192m2+16=0 m2=m= olur.m1= ve m2=- olsun o halde;d1..............y=m1.(x-4)y=.(x-4)6y=-4d1....6y-x+4=0d2..............y=m2.(x-4)y=-.(x-4)6y=-x-4d2....6y+x-4=0olarak d1 ve d2 doğru denklemleri bulunmuş olur.Soru-17 : y=2x doğrusunun y=x2+ax+b parabolüne A(2,4) noktasında teğet olması için a ve b ne olmalıdır.Çözüm : verilen A noktası denklemi sağlar7461252032000y=4 için 4=22+2a+b 2a=-bx=2denklemlerin türevi verilen eğimine eşittir.= f(x)=2x+a y=2x doğrusunda m=2 buluruz.F(x)=m2x+a=2 x=2 için2.2+a=2a=-2 2za=-b’de b=-b bulunur.Soru-18: x2/3+y2/3 =a2/3 astroid eğrisine, bu eğrinin y=-x doğrusu ile kesim noktasından çizilen teğetlerin denklemlerini yazınız.Cevap :Her iki tarafınıda küpünü alalım.(x2/3+y2/3 )3=(a2/3)3 (x2/3)+ 3.(x2/3)2.y2/3 +3.y2/3.x2/3+y2=a2 x2+ 3.x4/3.y2/3 +3.y4/3.x2/3+y2=a2y=-x denkleminde yerine yazarsak x2+ 3.x4/3.(-x)2/3 +3.(-x)4/3.x2/3+(-x)2=a2 x2+ 3.x4/3.(-x)2/3 +3.(-x)4/3.x2/3+(-x)2=a2 x2+ 3.x2+3.x2.x2=a2 8x2=a2y=-xy= x2/3+y2/3 =a2/3 astroid eğrisine bu eğrinin y=-x doğrusu ile kesim noktaından çizilen teğet denklemidir.x+y=+()= olur.Soru-19 : y=arc sin eğrisine bu eğrinin x- ekseni kesim noktasından çizilen teğet ve normalim denklemlerini yazınız?([x-2y=1, 2x-y-2=0])Çözüm : y=f(x) = arc sin92900514541500arcsinx Türevi 120332515811500arc siny’=f(x)= x eksenini kestiği nokta y=0arc sin=0sin0= x=1 , y=0(1,0) noktasındaki teğet denklemieğim f’(x0)=f’(1)= f’(1)== m eğimT.Denk y-y0=(x-1) 2y=x-1N. Denk eğim = m=-2Y=-2x+2Soru-20 : y2=6x+9 eğrisi ile y2=9-6x eğrisinin dik kesiştiklerini gösteriniz?9290051460500Çözüm : A(0,3)x=0x=0 içiny=13y=3y=0y=0x=3/2x=-3/2 3/2 3/2 B(0,-3)Bu iki eğri A(0,3) , B(0,-3) noktalarında kesişir. Bu noktalarda dik kesiştikleri göstermeliyiz. Bu iki eğrinin dik kesişmesi için bu noktadaki teğetlerin dik olması gerekir.y2=6x+9y= x=0 için f(0)=3teğet denklemleriy-3 m(x-0)....(0,3) noktası içiny+3=m(x-0) (0,-3) noktası içinf’(x)=f’(x)=1=mteğet denklemleriy=x+3....(0,3) noktası içiny=-x-3....(0,-3) noktası içiny2=9-6x y=f(x)x=0 için f(0)=3teğet denklemiy-3 m(x-0)....(0,3) noktası içiny+3=m(x-0) (0,-3) noktası içinf’(x)=f’(0)=1=my=x+3....(0,3) noktası içiny=-x-3....(0,-3) noktası için129476514795500Soru-21: f:RR, f(x)=x2+ fonksiyonu veriliyor.”k” ne olmalıdır kix=2 de yerel minimumax=-3 de yerel minimumax=1 de büküm noktasına sahip olsun. bu fonksiyonun yerel maksimuma sahip olabilir mi?Çözüm : a) yerel minimuma sahip olabilmesi için f(c)=0 ve f”(c)> olması gerekir f’(x)==.................(1)f’(2)= =0 k=16x=2 noktasının minimum olabilmesi için f”(2)>0 olmalıdır.F”(x)= =.............(2) ifadesindenF”(2)= =6>0 olur.x=-3 noktasında yerel minimum olması için f’(-3)= = 0 k=-54 olur.f”(-3)= = 6>0 olduğundan x=-3 minimum olur.x=1 noktasında büküm noktası olabilmesi içinf”(1)=0 olmalıdır.F”(1)= == k=-1 olarak bulunur.Bu fonksiyon yerel maksimum noktasına sahip olamaz. Çünkü f”(x)<0 olacak bir x sayısı bulunamaz.Soru-22: x2-y2=1 hiperbolünün (0,1) noktasına en yakın olan noktasını bulunuz?Çözüm : her birisi üzerinde aranan nokta A(x,y) noktası olsun. y=olduğundan bu A noktası A(x, ) noktasıdır.A noktasının (0,1) noktasına olan uzaklığı d=olur. d’nin minimum olmasını istediğimizden kök içindeki ifadenin de minimum yapan x değeri bulmak için f’(x) i bulalım.f’(x)= 2x+=0 eşitliğinden x1,2= bulunur.Bu x değerinin fonksiyonu minimum yapan değer olması için f”(x)> 0 olmalıdır.f”(x)=4+f”( )= 4+= 8>0 eldeedildiğinden elimizdeki x değeri bu fonksiyonu minimum yapan değer denir. şimdi (x,y) bulalım.y== bulunur A(x,y) noktası iki tanedir.Birincisi (x,y) ve değeri (x2,y)’dir.(x,y)=( ,),(x2,y)=( -,) bulunur.47180514605y(0,1)AA00y(0,1)AASoru 23: f(x) = arc tanx - arctan eşitliği ile verilen f fonksiyonunun akstrem değerini bulunuz.Cevap : f(x) = 0x = 2303212536258521a0021af(-2)= f(-2) =arctan(-2) = a31235659017012b0012btana = -2f(-2) 296,5 + 26,5f(-2) 323°f(+2) = arctan2 - arctanf(2) = 63,4° - 26,5°f(2) = 36,9° arasında tanımlı fonksiyon arasında olduğundaekseren noktası x = +2 değerinde sağlar.x = -2 değerinde tanım aralığı dışında olduğundan sağlamaz.f(+2) = 36,9°