Sunum İçeriği

Üçgenin ÇeşitleriA. Açılarına Göre Üçgen ÇeşitleriA.1. Dar Açılı ÜçgenÜç iç açısının da ölçüsü 90° ’ den küçük olan üçgene dar açılı üçgen denir.a < 90°b < 90°c < 90° ise ABC üçgeni, dar açılı bir üçgendir.A.2. Dik Üçgen (Dik Açılı Üçgen)Bir iç açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90° ’ lik açının karşısındaki kenar hipotenüstür. Diğer kenarlar ise dik kenarlardır.Dik Üçgenin Özellikleri√ Â = ° 90 ise Â= B + Ĉ√ Dik Üçgende Pisagor Bağıntısı: Hipotenüsün uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir:a2 = b2 + c2√ Dik Üçgende Öklid Bağıntıları: Öklid bağıntısının uygulanması için hipotenüse dik inilmiş olması gerekir.Dik kenar bağıntısı : b2 = k x aDik kenar bağıntısı : c2 = p x aYükseklik bağıntısı : h2 = p x kAlan bağıntısı : a x h = b x cA.3. Geniş Açılı ÜçgenBir iç açısı 90° ’ den büyük olan üçgene geniş açılı üçgen denir. α > 90° ise ABC üçgeni geniş açılı bir üçgendir.B. Kenarlarına Göre Üçgen ÇeşitleriB.1. Çeşitkenar ÜçgenÜç kenarı ve üç iç açısı farklı olan üçgene çeşitkenar üçgen denir:ABC üçgeninde ; a ≠ b ≠ c ve α ≠ β ≠ θ olduğu için ABC üçgeni çeşitkenar üçgendir.B.2. İkizkenar Üçgenİki kenarın uzunluğu eşit olan üçgene ikizkenar üçgen denir.|AB| = |AC| ise ABC üçgeni ikizkenar bir üçgendir. İkizkenar üçgenin taban açıları dar açıdır.α < 90° ’ dir.İkizkenar Üçgenin Özellikleri1. b = c2. Bˆ = Cˆ3. ha , va , na çakışıktır ( h:Yükseklik, v: kenarortay, n: açıortay)4. hb = hc vb = vc nB = nCB.3. Eşkenar ÜçgenBütün kenar uzunlukları eşit ve bütün açıları 60° olan üçgenlere eşkenar üçgen denir.|AB| = |BC| = |AC| veya α = 60° ise, ABC üçgeni eşkenar üçgendir.Eşkenar Üçgenin Özellikleri1. a = b = c2. Â = Bˆ = Cˆ = 60° ’dir.3. Her kenara ait yükseklik, kenarortay ve açıortay çakışıktır.4. Yükseklik, kenarortay ve açıortaylar birbirine eşittir.Üçgen BağıntılarıHerhangi bir üçgende üçü açı ve üçü kenar olmak üzere altı temel eleman vardır. Ayrıca yükseklik, açıortay, kenarortay gibi yardımcı elemanlar vardır. Bu temel ve yardımcı elemanların birbirleriyle olan ilişkilerine üçgen bağıntıları denir. Üçgen hesapları bu bağıntılar dikkate alınarak yapılır.Üçgen Bağıntı ÇeşitleriÜçgen bağıntılarını üç grupta inceleyebiliriz. Bunlar: açı bağıntıları, kenar bağıntıları ve açı-kenar (trigonometrik) bağıntılar. Üçgen hesapları bu bağıntılardan biri veya hepsi kullanılarak yapılır.A. Açı BağıntılarıHerhangi bir üçgende1. İç açılar toplamı 180° ’ dir. (a+b+c = 180°)2. Dış açılar toplamı 360° dir. (α + β + θ = 360°)3. Bir iç açı ile bir dış açının toplamı 1800’ dir. (a + α = 180°)4. Bir dış açı, kendine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. (α= b + c β= a+c θ= a+b)5. Bir üçgende üç iç açıortay bir noktada kesişir (D noktası). Bu nokta, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.6. İki iç açıortay arasında kalan açı, açıortayı alınmayan açının yarısının 90° ile toplamına eşittir.α = 90° + (a/2)7. Bir üçgende iki dış açıortay bir noktada kesişir (D noktası). Bu nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir.8. Bir üçgende bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesiştiği nokta, üçgenin dış teğet çemberinin merkezidir.9. İki dış açıortay arasında kalan açı, açıortayı alınmayan açının yarısının 90° ile farkına eşittir.w = 90° - ( a / 2 )10. Bir iç açıortay ile bir dış açıortay arasında kalan açı, açıortayı alınmayan açının yarısına eşittir.q = a / 2B. Kenar BağıntılarıHerhangi bir üçgende;1. Bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyüktür: a < b+c b < a+c a > b-c2. Üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçasına orta taban denir. Orta taban, üçüncü kenara paralel ve bu kenarın yarısına eşittir.|DE| // |BC| ise |DE| = BC / 23. Üçgende yükseklikler bir noktada kesişir (H noktası). Bu noktaya diklik merkezi (Ortasantr) denir.4. Kenar orta dikmeler bir noktada kesişir( O noktası). Bu nokta, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.5. Kenarortaylar bir noktada kesişir (G noktası). Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir.|GA|= 2 / 3 |AA’||GA’| = 1 / 3 |AA’|C. Açı – Kenar (Trigonometrik) Bağıntılar1. Bir üçgende büyük açı karşısında uzun kenar, küçük açı karşısında kısa kenar bulunur.2. Bir üçgende kenar uzunlukları ile açıortay, kenarortay ve yükseklik uzunlukları ters orantılıdır.3. ABC üçgenine göre;Sin α = b / cCos α = a / ctg α = b / a4. Herhangi bir üçgenin alanı aşağıdaki formüllerden birisi ile hesaplanır.S : Üçgenin alanıR : Çevrel çember yarıçapır : İç teğet çember yarıçapıra , rb , rc : Dış teğet çember yarıçapıu : Yarım çevre ( 2u = a+b+c ) veya u = (a+b+c)/2ha , hb , hc : YükseklikS = ( 1 / 2 ) a .  ha = ( 1 / 2 ) b . hb = ( 1 / 2 ) c . hcS = √ u (u - a) (u - b) (u - c)S = u . rS = ( u – a ) ra = ( u – b ) rb = ( u – c ) rcS = abc / 4RS = ( 1 / 2 ) b . c . SinA = ( 1 / 2 ) a . c . SinB = ( 1 / 2 ) a . b . SinC

Sunum İçeriği

1. Sayfa
ÜÇGENLER

---

2. Sayfa
ÜÇGENİN ÖZELLİKLERİÜÇGENÜÇGEN ÇEŞİTLERİ PİSAGOR BAĞINTISIÖKLİD BAĞINTISI

---

3. Sayfa
Üçgen:Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir.

---

4. Sayfa
Burada;A, B, C noktaları üçgeninköşeleri,[AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgeninkenarlarıdır.ABCÜÇGENİN ÖZELLİKLERİ

---

5. Sayfa
|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir.BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır.İç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir.

---

6. Sayfa
Bir Üçgenin iç açılarının toplamı 180°; dış açılarının toplamı 360°'dir.Bir üçgende, bir köşedeki iç açı ile diş açının toplamı 180°’dir. Üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.

---

7. Sayfa
ÜÇGENDE ALANGenel Alan BağıntısıABC üçgeninde [BC] kenarına ait yükseklik [AH]=h ve BC kenar uzunluğu a olsun.Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir. Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir. hHAlan =axhx(1/2)

---

8. Sayfa
ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç bölgeye ayırır.

---

9. Sayfa
Üçgen Çeşitleri2.Açılarına Göre Üçgenler1.Kenarlarına Göre ÜçgenlerİKİZKENAR ÜÇGENÇEŞİTKENAR ÜÇGENEŞKENAR ÜÇGENDAR AÇILI ÜÇGENGENİŞ AÇILIÜÇGENDİK AÇILI ÜÇGEN

---

10. Sayfa
a. Çeşitkenar üçgen Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere denir.Kenarlarına Göre ÜçgenlerABCabc

---

11. Sayfa
b. İkizkenar Üçgen Herhangi iki kenar uzunlukları eşit olan üçgenlere denir.

---

12. Sayfa
1.İkizkenar üçgenin tepe açısından tabanına çizilen yükseklik, hem açıortay, hem de kenarortaydır.

---

13. Sayfa
2.Bir üçgende, açıortay aynı zamanda yükseklik ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.lBDl=lDClm(B)=m(C)lABl=lACl

---

14. Sayfa
3.Bir üçgende, açıortay aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.lAB=lAClm(B)=m(C)

---

15. Sayfa
4.Bir üçgende, yükseklik aynı zamanda kenarortay ise bu üçgen ikizkenar üçgendir.lABl=lAClm(BAH)=m(HAC)m(B)=m(C)

---

16. Sayfa
5.İkizkenar üçgende, eşit kenarlara ait kenarortay uzunlukları birbirine eşittir.

---

17. Sayfa
6.İkizkenar üçgende ikizkenara ait yükseklikler eşittir. Bu durumda yüksekliklerin kesim noktasının ayırdığı parçalar eşit olur.

---

18. Sayfa
7.İkizkenar üçgende ikizkenara ait kenarortaylar ve kenarortayların kesim noktasının ayırdığı parçalar da birbirine eşittir.

---

19. Sayfa
8.İkizkenar üçgende eşit açılara ait açıortaylar da eşittir. Açıortaylar birbirini aynı oranda bölerler.

---

20. Sayfa
9. İkizkenar üçgende ikiz olmayan kenar üzerindeki herhangi bir noktadan ikiz kenarlara çizilen dikmelerin toplamı, ikizkenarlara ait yüksekliği verir. lABl=ACllLCl=lHPl+lKPl

---

21. Sayfa
10.İkizkenar üçgende tabandan ikiz kenarlara çizilen paralellerin toplamı, ikiz kenarların uzunluğuna eşittir. ABl=lACllEDl//lACl lFDl=lABllABl=lACl=lED+lEFl

---

22. Sayfa
c. Eşkenar Üçgen Bütün kenar uzunlukları eşit ve bütün iç açıları 60 derece olan üçgenlere ‘eşkenar üçgen’ denir.

---

23. Sayfa
1. Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.

---

24. Sayfa
2. Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yük seklik  Bu durumda eşkenar üçgenin alanı h

---

25. Sayfa
3.Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir. Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;

---

26. Sayfa
4. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde;

---

27. Sayfa
a. Dar açılı üçgen Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılı üçgen denir. Açılarına Göre Üçgenler

---

28. Sayfa
b. Dik açılı üçgen Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir. Dik üçgen olarak adlandırılır.

---

29. Sayfa
Dik Üçgende Alan Dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir. Alan=lABlxlAClx(1/2)

---

30. Sayfa
c. Geniş açılı üçgen Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir.Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.

---

31. Sayfa
PİSAGOR BAĞINTISIDik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. ABC üçgeninde m(A) = 90°a2=b2+c2

---

32. Sayfa
ÖKLİT BAĞINTILARI Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan Öklid Bağıntıları kullanılır.

---

33. Sayfa
1.Yüksekliğin hipotenüste ayırdığı parçaların çarpımı yüksekliğin karesine eşittir. h2 = p.k

---

34. Sayfa
3. ABC üçgeninin alanını iki farklı şekilde yazıp eşitlediğimizde a.h =b.c Yukarıda anlatılan öklit bağıntıları kullanılarak elde edilir.Genellikle bu öklit bağıntısını kullanmak yerine, yukarıdaki öklit bağıntıları ve pisagor bağıntısını kullanarak çözüme gideriz.

---

35. Sayfa
HAZIRLAYANSALİM ÖZATA110403005İKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 2/A GÜNDÜZZAMAN AYIRDIĞINIZ İÇİN TEŞEKKÜRLER 

---