Sunum İçeriği

L O G A R İ T M A Daha önceki matematik derslerinde, birinci ya da ikinci derece polinom fonksiyonlar ve trigonometrik fonksiyonlar gördünüz. Bu bölümde, üstel fonksiyon ve logaritma fonksiyonu dediğimiz, birbirlerinin ters fonksiyonu olan iki yeni fonksiyon daha tanıyacak, bunların özelliklerini inceleyeceğiz. Üstel fonksiyonu tanıyabilmek için önce, a Rve n Q olmak üzere asayısını hatırlayalım:(i) n Z ise a= a.a…a, (ii) n Z ise a= , (iii) n=0 ise a= a= 1, (iv) nZ ise a= x a = x, (v) Q ise a= ,olduğunu biliyorsunuz. Bu tanımlarda, a > 0 olduğuna göre, her n rasyonel sayısı için a sayısının pozitif olacağına dikkat ediniz. Eğer n irrasyonel sayı ise, her pozitif a gerçek sayısı için a sayısı yine pozitif gerçek sayıdır. a yazılışında a ya da taban, n ye üs denir. Matematik-1 derslerinizde üslü anlatımlarla ilgili aşağıdaki kuralları gördünüz. (1) Tabanlar eşit ise:Kural : a.a= aKural : m>n ise ; m<n ise ; Kural : ,0,1 ise, a= am = n dir.Kural : (ab)= a.b;Kural : ;Kural : a>0 , b>0 ve m ise adir. (3) Bir Kuvvetin Kuvveti:Kural : Aşağıdaki alıştırmaları, bu kuralları uygulayarak çözünüz.3 – 1.ÜSTEL FONKSİYON A, pozitif ve 1 den farklı sabit sayı olsun. xIR ise ain pozitif bir gerçek sayı olduğunu artık biliyoruz. Bu kesimde, bir x gerçek sayısını asayısı ile eşleyen fonksiyonu tanımlayacağız. Daha sonra, bu fonksiyonun özelliklerini inceleyecek ve grafiğini çizeceğiz.06604000445770066040000660400012573006604000 Tanım 3 – 1 : a, 1 den farklı sabit bir pozitif gerçek sayı olsun. f : IR IR , f(x) = a027559000 ise, f fonksiyonuna üstel fonksiyon denir. f , üstel fonksiyon ise, sıfırdan farklı her gerçek sayısı için f fonksiyonu da üstel fonksiyondur. Söz gelimi, IR de tanımlı ve kuralları f(x) = 3, g(x) = 5.3 , h(x) = -3olan fonksiyonlar üstel fonksiyonlardır. Kuralları, (x) = x , (x) = x ve (x) = (-3)olan fonksiyonlar üstel fonksiyon değildir. Neden? Pozitif gerçek sayıların, gerçek kuvvetleriyle ilgili pek çok özelliği gördük. Demek ki üstel fonksiyonun bir takım temel özelliklerini bilmekteyiz. Bu özelliklere dikkat ederek, üstel fonksiyonun grafiğini çizebiliriz. Örneğin;(i) xIR için a> 0 dır. (Grafik, Ox ekseninin üstündedir.).(ii) x,xIR için a=ax= xdir.(iii) yIR için y= aolacak şekilde bir x IR sayısı vardır.(iv) a= 1 dir. (Grafik Oy eksenini (0,1) koordinatlı noktada keser.) Bu bilgilere göre; üstel fonksiyonun grafiği 3-1. şekildeki gibidir. Bu şekilde, birinci grafik a tabanının 1 den büyük, ikinci grafik ise, tabanın 0 ile 1 arasında bulunması haline göre çizilmiştir.x< xa< a x< xa> a 3-1. şekilBu iki şekilde, a > 1 ise x< x a< a (Örneğin 3< 3)0 < a < 1 ise x< x a> a [Örneğin ]olduğunu gözlemekteyiz.Demek ki taban 1 den büyük olan üstel fonksiyonda, x ler büyüdükçe görüntülerde büyümektedir.(artan fonksiyon). Eğer taban 0 ile 1 arasında ise, bu kez x ler büyüdükçe görüntüler küçülmektedir.(azalan fonksiyon).Örnek 3 – 1 :(a) f: IRIR , f(x) = 2.3 (b) g: IRIR , g(x) = 2fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.Çözüm:(a) da tabanı 1 den büyük olan (3), (b) de tabanı 0 ile 1 arasında olan üstel fonksiyon verilmiştir. Bunların grafikleri 3-1. şekilde görülen türde eğrilerdir. Bu eğriler aşağıda çizildiği gibidir.3 – 2. LOGARİTMA FONKSİYONU Bire bir ve örten olan fonksiyonların, ters fonksiyonlarının var olduğunu biliyoruz. Üstel fonksiyonun bire bir ve örten olduğunu gördük. O halde, bu fonksiyonun ters fonksiyonu vardır.-11430012890500-11430012890500560070012890500125730012890500 Tanım 3 – 2 : f : IRIR , f(x) = a, (a IR \ ve a sabit) üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna a tabanlı logaritma fonksiyonu denir ve log ile gösterilir.-11430018224500Demek ki,f : IRIR ; f(x) = a ise,f : IRIR; f(x) = logx dir.(logx yazılışını “logaritma a tabanında x” diyerek okuyunuz.)f ile f , birbirlerinin tersi olan iki fonksiyon ise, f nin grafiğinin birinci açı ortaya( denklemi y = x olan doğruya) göre simetriği, f fonksiyonunun grafiğidir. 3-3.şekilde, f(x)=2fonksiyonu ile f(x) = logx fonksiyonunun grafiği çizilmiştir. Bu eğrileri inceleyiniz.Bu iki grafikten : 2= olduğundan, log= -1;2=1 olduğundan, log1 = 0 ;2=2 olduğundan, log2 = 1 ;2=4 olduğundan, log4 = 2 ;olduğunu görüyorsunuz. Genel olarak; 2=c ise, logc = bdir. Benzer şekilde, 2=32 olduğundan, log32 = 5; 2= olduğundan, log= -4; 2= olduğundan, log=olur.3 – 4. şekilde tabanı 1 den büyük, 3 – 5.şekilde ise tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritma fonksiyonunun grafiği çizilmiştir. Bu grafiklerden yararlanarak, aşağıdaki ifadelerde ….. bırakılan yerlere > ya da < işaretlerinden uygun olanını koyunuz.(i) a > 1 ise, 0<x<1<xlogx…0… logx 0<x<xlogx… logx (a > 1 iken, log fonksiyonu artan mıdır?)(ii) 0 < a < 1 ise, 0<x<1<xlogx…0… logx 0<x<xlogx… logx (0 < a < 1 iken, log fonksiyonu azalan mıdır?)(iii) log3…0; log(0,75)…0; log7…0; log(0,43)…0.Sonuç: 0<x<1<x ise, logx. logx< 0 dır.LOGARİTMANIN TEMEL ÖZELLİKLERİ Aşağıda açıklanan özelliklerde taban olan a sabit sayısı, 1 den farklı ve pozitif olan herhangi bir gerçek sayıdır.1143001371600037719001371600011430013716000102870013716000 1.Özellik : a= b logb = x, (b > 0) dır.1143008255000 Örnek 3 – 2 :(a) 5= log= -3; (d) logb=b=5=,(b) 7=log=; (e) log= -3= x(c) log= x = 2 3= x 2= 2 (3)= (x) , 3= x1143001371600037719001371600011430013716000102870013716000 2.Özellik : f(x) = a ve f(x) = logx için; (f o f)(x)=f= x a=x ; x > 0 (fof)(x)= f= x loga= x dir.1143003429000Örnek 3 – 3 :(a) 5=7; 3==5; ()=== x=(b) log5= 3 ; log=log2=; log= log=1143001371600011430013716000102870013716000 3.Özellik : 3771900-825500 x > 0 ve y > 0 ise logx = logy x = y dir.1143005905500Bu özellik logaritma fonksiyonunun bire bir oluşunun sonucudur.Örnek 3 – 4 :(a) log(2x – 5) = log(x + 3) (b) log(x-2) = log(1 – 2x)denklemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.Çözüm :4229100227965003655695187960x- 2 >0 1 – 2x >000x- 2 >0 1 – 2x >014859002279650010287001879602x-4>0 x+3>0002x-4>0 x+3>0(a) log(2x – 5) = log(x + 3) (b) log(x-2) = log(1 – 2x) 2x – 4 = x + 3, v x-2 = 1-2x 2x – x = 4 + 3 x + 2x – 3 = 0 x = 7……..Ç = (x – 1) (x + 3) = 0(7 sayısı için logaritmanın içindeki x= 1 ; x= 3 ……Ç=ifadeler pozitif olur.) (x = 1 için x-2 < 0 olur. 1 Ç dir.) (x= -3 için x-2 > 0 ve 1 – 2x>0 dir.)1143001371600037719001371600011430013716000102870013716000 4.Özellik : x > 0 ve y > 0 ise log(xy) = logx + logy dir.11430010414000 İspat: x > 0 ve y > 0 olduğundan, a= x ve a= y olacak şekilde, p ve q gerçek sayıları vardır.(üstel fonksiyon örtendir.) Bu nedenle, xy = a. a= a log(xy) = log a= p + q (2.özellik) = logx + logyolur.Örnek 3 – 5 :(a) log(5200) = log(10.4.13) = log10+ log4+ log13 = 2 + log4+ log13(b) log(9c) = log3+ log+ logc = 2 + log+ logc (c > 0)1143001371600037719001371600011430013716000102870013716000 5.Özellik : x > 0 ve y > 0 ise,11430040386000 log = logx - logy dir.İspat : x > 0 ve y > 0 olduğundan, a= x ve a= y olacak şekilde, p ve q gerçek sayıları vardır.log = log = loga= p – q (2.özellik) = logx - logyÖrnek 3 – 6 :log = log(10c) - logd = log10 + logc - logd = 1 + logc - logd (c > 0 , d > 0)1143001371600037719001371600011430013716000102870013716000 6.Özellik : x > 0 ve m IR ise, logx = mlogx dir.1143006159500 İspat :x > 0 olduğundan, x = a olacak şekilde, p gerçek sayısı vardır.( x = aise, logx = p dir.)logx= log(a)= loga= mp = m logx.Örnek 3 – 7 :log = log = logb+ logc = logb - logc.11430013716000102870013716000 6.Özellik : 114300-8890003771900-889000 Taban Değiştirme Formülü b,c > 0 ve b1 ise logc = dır.1143004254500 İspat :logc = x c = a logc = loga= x loga x = Sonuçlar : 1 - c = b logb = logb. loga = 1 dir.2 - logb. logc.logd = logd (d > 0)3 - lognc = = logc (n IR) lognc= logc (m,n IR)Örnek 3 – 8 :(a) log25 . log . log8 = log1/2 . 5. log3.log2 = . . 3 . log5 log3. log2 = -4(b) + = log + log = log(5.7) = log35.(c) log = log2 . 2= log2 = = 0,3.DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU Şimdi özel bir logaritma fonksiyonundan sözedeceğiz. Bu logaritma fonksiyonunun tabanı olan sayıyı tanıyabilmek için, önce aşağıdaki e,e,e,…,e(n Z) sayılarını düşününüz. e= 1 + e=1 + + e=1 + + + e=1 + + + + e=1 + + + ++ e=1 + + + +++…+ Burada e=2 ; e=2,5; e=2,; e2,7083 ; e2,7166 olur.Listeye devam ederek e,e,e,… sayılarını yaklaşık hesaplayabilirsiniz. B u listede, n sayısını büyüterek e toplamını hesapladıkça, daima, 2,7 ile 2,8 arasında kalan sonuçlar elde ederiz. Bu sonuçlar, e ile gösterilen bir irrasyonel sayıya yaklaşan sonuçlardır. ( e sayısı, 1707 – 1783 yılları arasında yaşamış olan İsviçreli ünlü matematikçi Euler tarafından keşfedilmiştir. Karmaşık sayıları işlerken kullandığımız i birimini de ilk kullanan bu matematikçidir.) e sayısının irrasyonel olduğunu kanıtlamak, üniversite matematiğinin konusudur.e için yaklaşık değer olarak 2,71 ya da 2,7182 sayılarından birini alabiliriz. Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir. ln ile gösterilir. Demek ki, lnx = logx dir. O halde,11430031750f(x) = f(x) = lnx00f(x) = f(x) = lnx dir. Bu iki fonksiyonun da grafiği 3-6.Şekilde çizilen eğrilerdir. 3-6.şekilÖrnek 3 – 9 :(a) e= e. e= ,(b) ln + ln(x. e) = ln (e. x. e) = lne+ lnx= -3x + 2lnx.TABANI 10 OLAN LOGARİTMA FONKSİYONU Doğal sayıları, tamsayıları, onluk sayı düzeninde yazarak inceledik. İnsanların birbiriyle olan iletişimlerinde, ticarette, sosyal yaşamın diğer alanlarında ve matematiğin-mühendislik gibi-uygulamalı dallarında kullanılan sayılar, onluk düzende yazılmış tamsayılar ya da bu tamsayılarla oluşturulan kesirli sayılardır. Logaritma da matematiğin uygulanışında yararı olan önemli bir fonksiyondur. Bu nedenle, 10 tabanlı logaritmaya uygulamada sık sık gerek duyulabilir. Örneğin, bir faiz hesabında (3-4.alıştırmalar-4.problem) log fonksiyonu ile hemen karşılaşabilirsiniz. Bu nedenle, bir kısım x doğal sayıları için logx sayıları hesaplanmıştır. (1 den 10000 e dek sayıların logaritmalarını İngiliz matematikçi Neper hesaplamıştır. Bu nedenle log fonksiyonuna Neper logaritması da denir.) Bu sayılar bugün kullanılan hesap makinelerinden önce, logaritma cetvelleri adı altında kitapçık halinde yayınlanmış, hesaplar yapılırken istenilen logaritma değerleri bu kitapçıktan bulunarak kullanılmıştır. 0762000007620000582930076200009144007620000 Tanım 3 – 3 : k Z ve 0 m < 1 olsun. x IR için logx = k + m ise, k sayısına logx in karakteristiği, m sayısına da mantisi denir.011430000 log 8473 = 3,9280 ise k = 3, m = 0,9280 log 0,045 = -2 + 0,6532 ise, k = -2 ve m = 0,6532 dır.Uyarı : Bir hesap makinesinde 0,045 yazdıktan sonra log tuşuna basınız. Ekranda -1,3468 sayısını(yaklaşık) göreceksiniz. log 0,045 = -1,3468 yazılışında karaktesirtik -1 ve mantis 0,3468 değildir. Bu sayıyı, log 0,045 = -1,3468 = -1 – 0,3468 + (1 – 1) = -2 + 0,6532şeklinde yazınca, yukarıda sözü edilen karakteristik ve mantisi elde edersiniz. Bu işlemde ondalık kısmı pozitif yapmak için bu sayıya 1 sayısını hem topladık, hem çıkardık. Benzer şekilde,log0,263 = -0,5800 = -1 + 1 – 0,5800 = -1 + 0,4200 k = -1, m = 0,4200log0,0038 = -2,4202 = -2 - 0,4202 -1 + 1 = -3 + 0,5798 k = -3, m = 0,5798 Karakteristik Bulmak0 < x < x ise, log x< log x dir.( artan fonksiyon). O halde, n Z olmak üzere,11430010858510 x < 10 n logx < n + 10010 x < 10 n logx < n + 1dır. (Sol yandaki sıralamada bulunan terimlerin 10 tabanına göre logaritmalarını alınca sıralama değişmez.) Demek ki, logx = n + m, 0 m < 1 dir. Diğer bir deyişle, logx sayısının karakteristiği n dir. O halde, pozitif bir x sayısının logaritmasının karakteristiğini bulmak için yukarıda çerçeveli ifadedeki n tamsayısını belirlemek gerekir ve yeter.Şekli ve buna bağlı olarak verilen örnekleri inceleyiniz.10 8,74 < 10 olduğundan, log8,74 = 0 + m, k = 0;10 24,6 < 10 olduğundan, log24,6 = 1 + m, k = 1;10 75,42 < 10 olduğundan, log375,42 = 2 + m, k = 2;10 8320 < 10 olduğundan, log8320 = 3 + m, k = 3;SORU: Bu örneklere göre, x > 1 ise, x in tam kısmının basamak sayısı ile logx sayısının karakteristiği arasında bir bağıntı söyleyiniz. 1 den büyük olan x sayıları için yaptığımız bu incelemeye benzer bir incelemeyi, 0 ile 1 arasındaki sayılar için de yapalım. 3 – 8. şekilde bu tür örnekler bulacaksınız. 3 – 8.şekil10< 0,56 < 1 olduğundan, log0,56 = -1 + m, k = -1;10< 0,036 < 10 olduğundan, log0,036 = -2 + m, k = -2;10< 0,00405 < 10 olduğundan, log0,00405 = -3 + m, k = -3;10< 0,0007 < 10 olduğundan, log0,0007 = -4 + m, k = -4;olur. Yukarıdaki örneklerde, ondalık kesir şeklinde yazılmış olan sayılarda, soldaki ilk sıfırların sayısı ile k sayısını karşılaştırınız. Buna göre, 0<x<1 ise, logx in karakteristiğini nasıl bulabileceğinizi söyleyiniz. 205. ve 206. sayfalardaki tablolarda 1 den 1000 e kadar olan tamsayıların logaritmalarının mantisleri verilmiştir. Bu tablodan yararlanarak, tüm üç basamaklı tamsayıların ve bu sayıların 10 (n Z) katlarının logaritmalarını bulabilirsiniz. Önce şu teoremi görelim: Teorem 3 – 2 : x > 0 ve n Z ise, logx ve log(10. x) sayılarının mantisleri aynıdır. İspat : logx = k + m, k Z, 0m<1 olsun. log(10. x) = log10+ logx = (n + k) + m, (n + k) Z olur. Demek ki, log(10. x) sayısının mantisi de m dir. Örnek 3 – 10 :log514 = 2,7110 ise log51,4 ; log5,14 ; log5140 ; log51400 ve log0,0514 sayılarını yazınız. Çözüm : 51,4 sayısı, 514 sayısının 10ile çarpımıdır. Teorem 3 -2 gereğince log514 ile log51,4 sayılarının mantisleri aynıdır. Benzer şekilde 5,14; 5140, 51400 ve 0,0514 sayıları da 514 sayısının 10 (n Z) ile çarpımı olan sayılardır. Bu nedenle, bunların logaritmalarının mantisleri de aynıdır.(m = 0,7110). O halde;11430003429000 log51,4 = 1,7110; log5,14 = 0,7110log514 = 2,7110 log5140 = 3,7110; log51400 = 4,7110 log0,0514 = -2 + 0,7110 = -1,2880olur.-2 + 0,7110 sayısının ,7110 şeklinde yazıldığı da olur. Bu yazılış biçimine göre, = -3 + 0,75 = -2,25 ve -4,82 = -4 – 0,82 = -4 – 1 + 1 – 0,82 = -5 + 0,18 = dir. Üç basamaklı bir sayının logaritmasını nasıl bulabiliriz. Söz gelimi, 748 sayısının logaritmasının mantisini bulalım. Logaritma cetvelinde 74 sayısının bulunduğu satır ile 8 sayısının bulunduğu kolonun kesiştiği yerdeki sayı 8739 dur. Bu nedenle log748 = 2,8739 olur. Eğer logaritması istenen sayı 4 ya da daha fazla basamaklı bir sayı (ya da bunun 10, n Z, katı) ise, bir orantı ile yaklaşık hesap yapabiliriz.) Örnek 3 -11 :log36,476 sayısını yaklaşık hesaplayınız. Çözüm :log364 sayısının mantisi 0,5611 log365 sayısının mantisi de 0,5623 verilmiştir. log36,476 sayısının mantisi orantı ile yaklaşık hesaplayalım: sayılar mantisler(0,…) sayı farkı mantis farkı ( 0,00…)800100311151001205740031115x00x102870031115120012228600311150013716003111500182880031115005715003111500 364 5611 1 120,76 365 5623 0,76 x27432008191500 364,76 ? D.O. x = (0,76) . 12 = 9,12Demek ki, mantisler listesinde soru işareti ile gösterilen yere 5611 + 9,12 = 5620,12 yada yaklaşık 5620 sayısı gelmelidir. O halde, log364,76 = 2,5620 ve buradan, log36,476 = 1,5620 olur. 0762000058293007620000076200009144007620000 Tanım 3 – 4 : logx = a ise, x sayısına a sayısının antilogaritması denir.011430000log314 = 2,4969 olduğuna göre, 2,4969 sayısının antilogaritması 314 tür.Örnek 3 – 12 :(a) 1,4698 (b) 3,7216sayılarının antilogaritmasını bulunuz.Çözüm:(a) logx = 1,4968 ise x sayısını bulacağız. ( k = 1 olduğundan, x sayısının tam kısmı iki basamaklıdır.)Logaritma cetvelinde 4698 sayısı vardır. Bu sayı, 295 sayısının karşılığındadır. Bu nedenle182880060960x = 29,500x = 29,51714500-63500 logx = 1,4698 log295 = 2,4698 3200400205105=00=137160019621500114300019621500114300042481500114300019621500dir. (logx = 1,4698 x = 10 olduğunu biliyorsunuz. Bir hesap makinesinde bu sayıyı hesaplayınız. Bunun için 10 yazınız. x tuşuna basınız ; 1,4698 yazınız ve . tuşuna basınız. Ekranda 29,4985… sayısını göreceksiniz. Burada (.), virgül yerinedir. Demek ki, x3,7216 ise, x sayısını bulacağız.(x, dört basamaklıdır, neden?). Logaritma cetvelinde 7210 ve 7218 sayıları var, 7216 sayısı yoktur. X sayısı bir orantı ile yaklaşık hesaplayalım. Sayı Mantis (0,…) Sayı farkı Mantis farkı ( 0,000…)205740031115800880010031115t00t1028700311156006228600311150013716003111500182880031115005715003111500 526 7210 1 8 1 x’ 72165 t 627432008191500 527 7218 D.O. t = = 0,75217170011430000x’ = 526 + t = 526,75240030082550x = 5267,500x = 5267,5Buna göre log526,75 = 2,7216 logx = 3,7216 olur.( logx = 3,7216 x = 10 sayısını yine bir hesap makinesinde hesaplayınız. x5267,4448… bulacaksınız.)Örnek 3 – 13 :Logaritma tablosundan yararlanarak -2,8216 sayısının antilogaritmasını bulunuz.Çözüm : logx = -2,8216 = -2 – 0,8216 + 1 – 1 = -3 + 0,1784 = k = -3 olduğundan, 10< x < 10dir. Logaritma tablosunda 1784 sayısı yoktur, 1761 ve 1790 sayıları vardır. Yine orantı yardımıyla x sayısını bulalım: Sayı Mantis (0,…) Sayı farkı Mantis farkı ( 0,000…)2057400311152900299144000 2300 2380010031115t00t228600311150013716003111500182880031115005715003111500 150 7210 1 29 1 x’ 72165 t 2327432008191500 151 7218 D.O. t = 0,79x’ = 150 + t = 150,79240030082550x = 0,001507900x = 0,00150792171700000Buna göre log150,79 = 2,1784 logx = olur.(logx = -2,8216 x = 100,001507995… olduğunu, hesap makinesini hesaplayarak görünüz.)Örnek 3 – 14 : 1992 yılında, ülkemizde, elektriğin klowatt-saat ücreti her ay %4 artırılmıştır. Buna göre, elektriğin 1 klowatt-saatının fiyatı 1992 yılında yüzde kaç artmıştır?Çözüm :Elektriğin 1 klowatt-saatının fiyatı, ocak ayı başında 1 birim ise,Birinci ayın sonunda ay başındaki fiyatın 1,04 ü = 1,04,İkinci ayın sonunda bu ayın başındaki fiyatın 1,04 ü = (1,04),Üçüncü ayın sonunda bu ayın başındaki fiyatın 1,04 ü = (1,04),Olur. Bu yolla devam edilince, aralık ayı sonunda söz konusu fiyat (1,04) olur.(1,04) sayısını logaritma yardımıyla yaklaşık olarak hesaplayalım:x = (1,04) logx = 12. log(1,04) = 12.(0,170) = 0,20491440012509500102870093345x 1,6000x 1,60logx =0,204log160 =2,2041 Demek ki, ülkemizde elektriğin kilowat-saat ücreti,1992 yılında, yıllık ortalama %60 arttırılmıştır.Not : Bir hesap makinesi ile (1,04) 1,6010… olduğunu bulabilirsiniz. Bu da fiyatın yıllık yaklaşık %60 arttığını gösterir.3 – 5. ÜSTEL VE LOGARİTMALI DENKLEMLER0762000058293007620000076200009144007620000 Tanım 3 – 5 : Değişkeni ya da değişkenleri (bilinmeyenleri) üst içinde bulunan denkleme üstel denklem denir.011493500Bu tanıma göre bilinmeyenleri x ve y olan3.5- 2.5+ 2 = 0 ; 5-2+ 7.3= 10 ; 2+ 3= 5denklemleri üstel denklemlerdir.3x - 2 = 6 ; x. 5= 1 ; 3+ sinx = 1denklemleri ise, üstel denklem değildir; çünkü bunlarda x bilinmeyeni sadece üst içinde geçmemektedir. Örnek 3 – 15 :(a) 25- 6.5+125 = 0 (b) 3- 5.3+ 6 = 0 denklemlerini çözünüz.Çözüm :(a) t = 5 dersek, t= 25olur. (b) t = 3 dersek, t= 3olur. 25- 6.5+125 = 0 3- 5.3+ 6 = 0 t-6.5.t + 125 = 0 t-5t + 6 = 0 (t – 5)(t – 25) = 0 (t – 2)(t – 3) = 0 t = 5 t = 25 t = 2 t = 3 5= 5 5= 25 3 = 2 3 = 3 x = 1 x = 2 = log2 = 1 Ç = . x = 2 log2 x = 2 Ç = .Örnek 3 – 16 :5+ 3= 45 - 3=4 denklem sistemini sağlayan x ve y sayılarını bulunuz.Çözüm :a = 5 ve b = 3 diyelim:1028700-19050080010060960002400300-1905005+ 3= 4 5. 5+ 3 = 4 5a + b = 45 - 3=4 5. 5 - 3. 3 = 4 25a - = 4 (3)182880097790001028700977900080010097790005a + b = 4 a = = 5 x = -1 ve y = 175a – b = 12 b = 3 = 30762000058293007620000076200009144007620000 Tanım 3 – 6 : Değişkeni ya da değişkenleri (bilinmeyenleri) logaritma içinde bulunan denkleme logaritmalı denklem denir.03873500Bu tanıma göre, bilinmeyeni x olanlog(3x-1) = 2; logx + logx - log7 = 1 ; log(x-1) + logx = 4denklemleri logaritmalı denklemlerdir. Yine bilinmeyeni x olan x Inx - e = 2 ; x + (log5) x - 4 = 3 ; sin(Inx) – x = 1denklemleri ise logaritmalı denklemler değildir. Neden?Bilinmeyeni x olan logaritmalı bir denklemi çözerken, verilen denklemden,(i) log f(x) = b(ii) log f(x) = log g (x)şeklinde bir temel denklem elde etmeye çalışınız.Bu halde, (i) log f(x) = b f(x) = a (ii) log f(x) = logg(x) f(x) = g(x) > 0olur. (ii) de f(x) = g(x) denkleminin köklerini bulunuz. Bu kökler içinde f(x) iadesini pozitif yapan sayılar log f(x) = logg(x) denkleminin kökleridir.Örnek 3 – 17 : (a) log(3x – 2) = 0 3x – 2 = 5 x = 1, Ç = . ( x = 1 için 3x – 2 > 0 dır.) (b) logx + log(x + 8) = 2 log(x + 8) = 2 x(x + 8) = 9 ; x > 0 ; x + 8 > 0. x+ 8x – 9 = 0 x= 1 ; x= -9x = 1 için x > 0 ve x + 8 > 0 dır. 1, çözüm kümesinin elemanıdır. x = -9 için logaritma içleri pozitif değildir. Bu nedenle, -9 sayısı, verilen denklemin kökü olamaz. O halde, bu denklemin çözüm kümesi Ç =. dir.Örnek 3 – 18 : (a) log(3x-17x + 24) = 1 3x-17x + 24 = 2 3x-17x + 22 = 0 x= 2 ; x= x= 2 ve x= için 3x-17x + 24 > 0 olduğundan 2 ve sayılarının ikisi de bu denklemin kökleridir. Öyleyse Ç= dir. (b) log(x – 3) + log(3x – 8) = 1 log(x – 3) (3x – 8) = 1 (x – 3) (3x – 8) = 2 3x- 17x + 22 = 0 x= 2 ; x= x = 2 için x – 3 < 0 dır. Demek ki 2, verilen denklemin kökü değildir. x = için x – 3 > 0 ve 3x – 8 > 0 dır. Bu nedenle, sayısı verilen denklemin bir köküdür. O halde, bu denklemin çözüm kümesi Ç = olur. (a) ile (b) deki iki denklemde de 3x-17x + 22 = 0 denklemi elde edildiği halde, çözüm kümelerinin farklı olduğuna dikkat ediniz.Örnek 3 – 24 :log = 1 denklemini çözünüz.Çözüm : log = 1 1 - log(x – 3) = log(x – 3) = -2 x – 3 = 2= x = LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER a > 1 ise log fonksiyonunun grafiğinin 3-10. şeklindeki gibidir.Bu grafikten;(i) logf(x) > b f(x) = a (ii) logf(x) < b 0 < f(x) < a eşitsizliklerini elde ederiz. 3-10. şekilEğer 0 < a < 1 ise, log fonksiyonunun grafiği 3-11 şeklindeki gibidir.Bu grafikten de(i) logf(x) < b f(x) > a (ii) logf(x) > b 0 < f(x) < a 3-11.şekilÖrnek 3 – 25 :(a) log(3x – 2) 2 (b) log(1 – 4x) > 2 eşitsizliklerinin çözüm kümesini bulunuz.Çözüm :(a) log(3x – 2) 2 (b) log(1 – 4x) > 2 0 < 3x – 2 5 1 – 4x > 3 < x 9 1 – 9 > 4x Ç = -2 > x Ç = Örnek 3 – 26 :(a) log(5 – 2x) 2 (b) > 1eşitsizliklerinin çözüm kümesini bulunuz.(a) log(5 – 2x) 2 (b) > 1 5 – 2x < -1 > 1 5 - 2x x + 2 > () 0 < (x + 2) < > () x x > 1 -2 < x < Ç = Ç =