Sunum İçeriği

MOMENTLERTerimlerin belli bir değerden veya aritmetik ortalamadan sapmalarının değişik kuvvetlerinin beklenen değerine moment adı verilir. Bir başka deyişle bir dağılımın momenti, ilgili rassal değişkeninin çeşitli kuvvetlerinin beklenen değeridir. Önceki derecelerde bir rassal değişkenin beklenen değeri, varyansı gibi kavramları inceledik. Şimdi ise bunların aynı zamanda çeşitli şekillerde hesaplanan momentlerden başka bir şey olmadığını göreceğiz.O halde beklenen değer (aritmetik ortalama) ve varyans, X rassal değişkeninin en çok kullanılan iki momentidir. Beklenen diğer işlemine dayalı olarak geliştirilen momentler, fizikte, kitle merkeziyle ilgili olarak geliştirilen “moment” kavram ve işlemleriyle bağdaştırılan, olasılık ve bunun bir uzantısı ve uygulaması olan istatistikte de kullanılmaktadır. Momentler Genel Olarak Üç Gruba Ayrılır :1. Orjine Göre Momentler :Bunlara sıfıra veya başlangıç noktasına göre momentler de denir. Sürekli veya kesikli herhangi bir tesadüfi değişkenin sıfır ile farkının kuvvetlerinin beklenen değerine o tesadüfi değişkenin orjine göre momentleri denir.Orjine göre r’nci moment Mr veya r' ile gösterilebilir. “r” momentin derecesi olup r = 0, 1, 2,....... değerini alır.Şu halde r’nci moment r' = E[xr] dir. Şu halde xr fonksiyonunun beklenen değerine X tesadüfi değişkeninin sıfıra göre r’nci dereceden momenti denir.X kesikli ise X sürekli ise ’tir.Orjine Göre Bazı Momentlerin Hesaplanması* Orjine göre sıfırıncı moment 1’dir. r = 0 için;X kesikli ise X sürekli ise olur.* Orjine göre birinci moment aritmetik ortalamadır. r = 1 için;X kesikli ise X sürekli ise olarak bulunur.O halde aritmetik ortalama, bir değişkenin sıfıra göre birinci momentidir.* Orjine göre ikinci moment E(X2)’dir. r = 2 için;X kesikli ise X sürekli ise * Orjine göre üçüncü moment E(X3)’tür. r = 3 için;X kesikli ise X sürekli ise olarak bulunur.Aynı şekilde devam edilerek sıfıra göre r’nci momentX kesikli ise X sürekli ise olarak bulunur.2. Herhangi bir a noktasına göre momentler :Bir X rassal değişkenin bir a noktasına göre momenti, bu tesadüfi değişkenin a ile farkının kuvvetlerinin beklenen değeridir. r ile gösterilir. r = E(x – a)r dir.X kesikli ise X sürekli ise şeklindedir. Bunlara merkezi momentler de denir. Diğer momentlere göre daha az kullanılır.3. Aritmetik Ortalamaya Göre Momentler :r veya Mr olarak gösterilir. Bunlara kısaca ortalamaya göre momentler denir. Bir x rassal değişkeninin kendi aritmetik ortalamasından sapmasının kuvvetlerinin beklenen değeri olup, şeklinde gösterilir.X kesikli ise X sürekli ise olur.Aritmetik Ortalamaya Göre Bazı Momentler* Aritmetik ortalamaya göre sıfırıncı moment 1’dir.r = 0 için; = 1’dir.X kesikli ise X sürekli ise olarak bulunur.*** Daha önce orjine göre sıfırıncı momentin de 1 olduğunu bulmuştuk. Şu halde X tesadüfi değişkeninin ister aritmetik ortalamaya göre ister orjine göre olsun sıfırıncı dereceden momenti 1’e eşittir.* Aritmetik ortalamaya göre birinci moment sıfırdır.r = 1 için; ’dır.X kesikli ise X sürekli ise olarak bulunur.* Aritmetik ortalamaya göre ikinci dereceden moment ise varyanstan başka bir şey değildir;r = 2 için; X kesikli ise X sürekli ise olarak bulunur.*** Şu halde varyans, aritmetik ortalamaya göre ikinci dereceden moment değeridir. Diğer bir ifadeyle orjine göre ikinci dereceden moment ile, orjine göre birinci dereceden momentin karesinin farkına varyans denir. Bu da varyansın orjine göre momentler cinsinden ifadesidir. Gerçekten yukarıdaki son eşitlikte E(x2) ve 2’nin orjine göre momentler cinsinden değerleri yerlerine konulursa, bulunur.TEOREM : Aritmetik ortalamaya göre 2. dereceden moment yani varyans, daima herhangi bir a noktasına göre ikinci dereceden momentten küçük veya ona eşittir. Buna varyansın minimum olma özelliği denir. İSPAT : Eşitsizliğin sağ tarafını ele alalım.burada olduğundan olarak bulunur.Burada daima pozitif olduğundan, olur.* Aritmetik ortalamaya göre üçüncü moment 3 olup frekans dağılımlarının çarpıklarında bir öksit olarak kullanılır.3 = E(X –)3X kesikli ise, X sürekli ise, olur.* Aritmetik ortalamaya göre dördüncü moment 4 olup frekans dağılımlarının hesaplanmasında kullanılır.4 = E(X –)4X kesikli ise, X sürekli ise, ’dir. *** İster ortalamaya göre, ister orjine göre olsun, istenen dereceden momentlerinin hesaplanabilmesi için x rassal değişkeninin ya frekans dağılımın, yada olasılık fonksiyonlarını bilinmesi gerekir. Genelde ilk 4 momentin hesaplaması yapılır.Momentler Arasındaki İlişkilerAritmetik ortalamaya göre momentlerin, orjine göre momentler cinsinden hesabı :Orjine göre momentlerle aritmetik ortalamaya göre momentler arasındaki ilişki Binom teoremi kullanılarak bulunabilir. Binom açılımı; idi.Bu açılımı ortalamaya göre momentlerde kullanacak olursak;bulunur. olduğuna göre, olur. olduğuna göre olur. Buradan bulunur. Şu halde aritmetik ortalamaya göre r.inci momenti orjine göre momentler cinsinden şu şekilde yazabiliriz.Buna göre aritmetik ortalamaya göre birinci moment orjine göre momentler cinsinden;olarak bulunur. Gerçekten daha önce aritmetik ortalamaya göre birinci momentin sıfır olduğunu göstermiştik. Aritmetik ortalamaya göre ikinci moment de olarak bulunur.Aritmetik ortalamaya göre üçünü moment 3 ise;olarak bulunur. Benzer şekilde olarak bulunur.Orjine Göre Momentlerin Aritmetik Ortalamaya Göre Momentler Cinsinden Hesabı : olarak bulunur. Buna göre orjine göre 1. Moment Buradan olarak bulunur ki bu da daha önce bulunan sonucun aynısıdır.Orjine göre 2. Moment olarak bulunur. Buradan; sonucu yine elde edilir. ÖRNEK : 30 tane atıcının bir hedefi vurmada 5 tam not üzerinden aldıkları notların dağılımı aşağıdaki gibidir.Alınan Not (Xi)Atıcı sayısı (Fi)16211374452Orjine ve aritmetik ortalamaya göre 1,2,3 ve 4; dereceden momentleri hesaplayınız.ÇÖZÜM :XFf(x)X.F166/30 = 0,2621111/30 = 0,366622377/30 = 0,233321444/30 = 0,133316462978522034500458597027368500522/30 = 0,06661045859706350075Orjine göre 1. Moment olarak bulunur. Bu da aritmetik ortalamadan başka bir şey değildir.Bu frekans dağılımının mutlak aritmetik ortalaması Orjine göre 2. Moment ise.Orjine göre 3. Moment Orjine göre 4. Moment olarak bulunur.Şimdi de aritmetik ortalamaya göre momentleri bulalım.Aynı varyans orjine göre moment cinsinden; olarak bulunur.Mutlak dağılımın varyansı da olup yine aynı sonuç bulunur. olur.3 orjine göre momentler cinsinden yaklaşık aynı sonuç bulunur.Aritmetik ortalamaya göre 4. moment iseAynı sonucu orjine göre momentler cinsinden de kolayca bulabiliriz.=4,27’dir.Olasılık Fonksiyonu Verilen Bir Frekans Dağılımının Çeşitli Derecelerden Momentlerinin Bulunması :İster sürekli, ister kesikli olsun bir X tesadüfi değişkeninin olasılık fonksiyonu verildiğinde orjine ve aritmetik ortalamaya göre momentleri yukarıda anlatılan yollarla hesaplanır veya daha pratik olarak önce orjine göre r’nci moment olan E(xr) hesaplanıp r’nin çeşitli dereceleri yerine konur.r =1, verir.ÖRNEK : X sürekli tesadüfi değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu;24828505715000Orjine ve aritmetik ortalamaya göre diğer x değeri içinmomentlerini bulunuz.ÇÖZÜM :olarak bulunur.Aritmetik ortalamaya göre momentler;’tür. olup aynı sonuç bulunur. olup aynı sonuç orjine göre momentler cinsinden aşağıdaki gibi bulunur. bulunur.veya bulunur.ÖRNEK : X kesikli tesadüfi değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir.23914103175000orjine ve oritmatik ortalamaya görediğer x değeri için momentlerini bulunuz.ÇÖZÜM :cupidAritmetik ortalamaya göre, Varyansa eşit olduğundan Aynı sonuç orjine göre momentler cinsinden hesaplanırsa;Orjine göre momentler cinsinden ;ÖRNEK : X kesikli tesadüfi değişkenin olasılık fonksiyonu ;şeklinde verilmiştir. Bu değişkenin aritmetik ortalamaya göre ilk dört momentini bulunuz.Orjine göre momentler cinsinden hesaplayalım:Aritmetik ortalamaya göre momentleri orjine göre momentler cinsinden hesaplayalım;MOMENTLERE DAYANAN ASİMETRİ ÖLÇÜLERİBir frekans dağılımının gösterdiği simetriden ayrılış derecesine asimetrilik veya çarpıklık denir. Normal bir bölümünün eğrisi çan şeklinde ve ortalama etrafında simetrik olmasına karşın, çarpık bölünmeler de eğrinin çan şekli bozulup mod’a göre sağ veya sol tarafa doğru uzanmalar görülür.Bu bölünmede frekans dağılımı bilinmeden, olasılık fonksiyonları verilmişken dağılımların çarpıklık derecesi bulunabilecektir. Bu ölçülerin başlıcaları şunlardır. : aritmetik ortalamaya göre üçüncü moment olan çarpıklık ölçüsü olarak da kullanılabilir.269430549530f(x)xf(x)00f(x)xf(x)0 ise eğri sağa çarpık ise eğri simetrik ise eğri sola çarpıktır.17970530480f1(x)f2(x)f3(x)00f1(x)f2(x)f3(x)Fakat üçüncü moment dağılımın şekli hakkında daima bize ipucu vermez. Örneğin Şekil 2’deki yoğunluk fonksiyonu olarak düşünülürse olabilir. Fakat eğrı simetrik değildir. Burada oranına bakarak karar verebiliriz.Bunu şu şekilde açıklayabiliriz: ve ÖlçütleriKarI pearson tarafından geliştirilen kat sayısı bir dağılımın çarpıklığını anlamak için kullanılır. Burada söz konusu olan tek mod’lu dağılımlardır.Normal bir dağılımda paralel olarak olur. Asimetrik bir dağılımda ise daima pozitiftir. Bu da asimetrinin yönünü tayin etmeye imkan vermez. İster pozitif asimetri, ister negatif asimetri söz konusu olsun daima pozitiftir ve payda da yer alan varyans da negatif olamayacağına göre daima pozitif olarak bulunur. Bunun için R,A. Fischer tarafından ileri sürülen kare köküne eşit olan ölçütü kullanılır. Buna aynı zamanda çarpıklık katsayısı da denir.Normal bir dağılım da Eğer ise eğri sağa doğru uzanan eğridir.-4889524765000Eğer ise eğri sola uzanan eğridir.ÖRNEK :50 tane öğrencinin bir sınavdan 5 üzerinden aldıkları notların değişimi aşağıdaki gibidir. Alınan Not (xi)Öğrenci Sayısı Fif(x)xF188/50 = 0,16822525/50=0,55031010/50=0,230455/50=0,120522/50=0,0410Frekans dağılımının çarpıklığını hesaplayınız.ÇÖZÜM :Dağılım momentleri ;Bu dağılımın mutlak aritmetik ortalamasıKarl Pearson’a göre; Simetrinin yönünün tayini için, Fischer katsayısına da bakalım.0,852 > 0 olduğundan, dağılım pozitif asimetri gösterir.BASIKLIKBir dağılımda tepe noktasının yani mod’un yeri önemlidir. Bir frekans dağılımı eğrisinin tepe noktasını, mod’unun, aynı aritmetik ortalama ve standart sapmaya sahip bir normal bölümünün tepe noktasına yani mod’una göre daha aşağıda veya yukarıda bulunmasına BASIKLIK FARKI denir. Basıklık, bir dağılımın sivrilik derecesinin ölçüsüdür.Basıklık farkını ölçen ölçülere basıklık ölçüleri denir.a. Karl Pearson Basıklık ÖlçüsüPearson basıklık katsayısı da denir. 2 ile gösterilir.’tür.Burada eğri; 2 = 3 ise dağılım normal, 1 2 3 ise dağılım normale göre basık, 2 > 3 ise dağılıma normale göre sivridir.b. Fischer Basıklık ÖlçüsüFischer basıklık katsayısı da denir. 2 = 2 –3 = dür.24663408255002 = 0002 = 042608538925500Eğer; 2 = 0 ise dağılım normaldir. 2 < 0 ise dağılım normale göre basıktır. 4089401562102 < 0002 < 02 > 0 ise dağılım normale göre sivridir.2 > 02 > 0Basıklık hesaplandıktan sonra çarpıklık için formülü de kullanılabilir.Ancak bu formül Fischer’in 1 katsayısına göre daha karmaşık olduğundan az kullanılır.ÖRNEK : X sürekli tesadüfi değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu dağılımın basıklığını hesaplayınız.Daha önce dağılımın momentleri 1 = 0,4 2 = 0,06 3 = 0,004 4 =0,0077Olarak hesaplanmıştı.Karl Pearson basıklık katsayısına göreFischer basıklık katsayısına göre2 = - 0,86 < 0 olduğundan dağılım normale göre basıktır.MOMENT ÇIKARAN FONKSİYONLARSürekli veya kesikli bir X tesadüfi değişkenin dağılımın momentlerinin hesaplanmasına yarayan bir fonksiyondur. Momentleri kolayca bulmak için moment çıkaran fonksiyonlardan yararlanabiliriz.ORJİNE GÖRE MOMENT ÇIKARAN FONKSİYONLARBir X tesadüfi değişkeninin orjine göre moment çıkaran fonksiyonu Mx(t) ile gösterilir ve şöyle tanımlanır. Olasılık fonksiyonu f(x) olan bir X tesadüfi değişkeni için h pozitif bir sayı –h < t <h arasındaki bir t değeri için etx’in beklenen değeri mevcut ise buna X tesadüfi değişkeninin orjine göre moment çıkaran fonksiyonu denir.X kesikli ise; Mx(t)= E[etx] = X sürekli ise; Mx(t) = E[etx] = ’dir.M(t), t’nin gerçek değerlerine bağlı bir fonksiyondur. Bazı frekans fonksiyonlarında t’nin her gerçek değeri için moment çıkaran fonksiyon mevcut değildir. Bu durumlarda, momentlerin bulunmasında karakteristik fonksiyon denilen bir başka fonksiyona başvurabilir.ÖRNEK : Olasılık fonksiyonu P(x) = şeklinde veriliyor. X’in moment çıkaran fonksiyonunu bulunuz.ÇÖZÜM : Mx(t) = E[etx]=Mx(t) = ÖRNEK : Sürekli bir X tesadüfi değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu x değişkenleri için şeklinde veriliyor.X’ in moment çıkaran fonksiyonunu bulunuz.ÇÖZÜM : ORJİNE GÖRE MOMENT ÇIKARAN FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİOrjine göre momentler, orjine göre moment çıkaran fonksiyonlar sayesinde bulunabilir. f(x) = ex fonksiyonu “Mac Laurin” serisi yardımıyla açılırsa; Buradan Mx(t)’nin t’ye göre r’nci türevinde t = 0 değeri konarak orjine göre r’nci moment elde edilir. Bazı bölünümlerde t’nin bütün değerleri için Mx(t) hesaplanabildiği halde bazılarında ancak t’nin belli aralıklardaki değerleri için bulunabilir. Mx(t) den yararlanarak orjine göre bazı momentler şöyle bulunur; Orjine göre birinci momenti bulmak için Mx(t) nin t’ye göre birinci türevi alınır;E(x) = Mx(t) = Burada t = 0 konursa olarak bulunur.Orjine göre 2. Moment ise; olarak bulunur.Kısaca;.’dir.ÖRNEK : X sürekli rasgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu Mx(t) = ise X’in varyansını bulunuz.ÇÖZÜM : ÖRNEK : Moment çıkaran fonksiyonu olan dağılımın varyansını bulunuz.ORJİNE GÖRE MOMENT ÇIKARAN FONKSİYONLA İLGİLİ TEOREMLERTEOREM 1 : Bir X rasgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu Mx(t) olsun. C bir sabit sayı olmak üzere (CX)’ in moment çıkaran fonksiyonu Mcx(t) = Mx(ct) dir.İSPAT : Mcx(t) = bulunur.TEOREM 2 : Bir X rasgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu Mx(t) olsun. C bir sabit sayı olmak üzere (c+x)’in moment çıkaran fonksiyonu M(c+x)(t) = ectMx(t) olur.İSPAT : Mc+x(t) = bulunur.TEOREM 3 : X rasgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu Mx(t) olsun. Y = ax + b şeklinde tanımlanan Y’ nın moment çıkaran fonksiyonu My(t) = ebtMx(at) olur.İSPAT : Moment çıkaran fonksiyon tanımından , olarak bulunur.TEOREM 4 : Eğer iki rasgele değişken aynı moment çıkaran fonksiyona sahip ise bu iki rasgele değişken aynı bölümüne sahiptir. X rasgele değişkenin moment çıkaran fonksiyonu Mx(t) ve Y rasgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu My(t) olsun.Mx(t) = My(t) ise X ve Y rasgele değişkenleri aynı olasılık dağılım kuralına sahiptir.İSPAT : X’ in dağılımı olsun. Y’ de Y = ax + b şeklinde, X’ in doğrusal bir fonksiyonu olsun. Y’ de bir normal dağılım gösterir. 3. Teoreme göre de Y’ nin moment çıkaran Mx(t) = ebtMx(at) olur. Normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu (ileriki konularda çıkarılışını göreceğiz.) buna göre ; olarak bulunur.Bu ise ortalaması ve varyansı a2 olan bir normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonudur.TEOREM 5 : Her birinin moment çıkaran fonksiyonu Mx (t) olmak üzere n tane rasgele X1, X2, X3,.................. Xn, ve Y = X1 + X2 + X3 + .............+Xn olmak üzere moment çıkaran fonksiyonu da My (t) olsun. Mx (t)’ nin tanımlı olduğu her t değeri için My(t) = dir.İSPAT : Mx(t)’ nin tanımından My(t) = E(ety) = E[et(X1+X2 + .....Xn)] My(t) = E[etX1 ,etX2 ,.........etXn] olarak bulunur.TEOREM 6 : X ve Y bağımsız ve aynı dağılım kuralına sahip iki rasgele değişken ve bunların moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla Mx(t) ve My(t) olsun. Z = x + y şeklinde tanımlanan bir Z rasgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu, Mz(t) = Mx(t) + My(t) olur.İSPAT : ve X ve y bağımsız olduklarından, olarak bulunur.Bu teorem n tane bağımsız rasgele değişken içinde genişletilebilir. gibi.Bu teoremler kesikli değişkenler içinde geçerlidir.ÖRNEK : ve Y = 3 –2X veriliyor. Y’ nin moment çıkaran fonksiyonunu bulunuz.ÇÖZÜM : dir.BİR MOMENT FONKSİYONUNUN MOMENT ÇIKARAN FONKSİYONUX rasgele değişkeninin bir fonksiyonu u(x) iseX sürekli rasgele değişken ise ; dir.X sürekli rasgele değişken ise ; dir.ÖRNEK : X, ortalaması varsayımı ve moment çıkaran fonksiyonu M1(t) olan bir rasgele değişken ve C bir sabit sayı olsun. Y’ nin moment çıkaran fonksiyonu ise Y’ nin ortalama ve varyansını X’ nin ortalama ve varyansı cinsinden bulunuz.ÇÖZÜM : V(Y) = E(Y2) – [E(Y)]2 olduğundan olarak bulunur.ARİTMETİK ORTALAMAYA GÖRE MOMENT ÇIKARAN FONKSİYONBir x rasgele değişkeninin kendi aritmetik ortalamasına göre de moment çıkaran fonksiyonu bulunabilir. Bu da M(x-)(t) ile ifade edilir. Buna göre kesikli veya sürekli bir rasgele değişkenin orjine göre moment çıkaran fonksiyonu ile çarpılarak aritmetik ortalama etrafındaki moment çıkaran fonksiyon kolayca bulunabilir.ÖRNEK : Bir para iki kez atılsın ve X tura sayısını göstersin.X’in olasılık fonksiyonunu ve moment çıkaran fonksiyonunu bulunuz.X’in olasılık fonksiyonu f(x) Mx(t) = olarak bulduğumuz moment çıkaran fonksiyonun, aritmetik ortalamaya göre moment çıkaran fonksiyonunu bulunuz.benzer şekilde aritmetik ortalamaya göre moment çıkaran fonksiyon bilindiğinde bu ile çarpılarak orjine göre moment çıkaran fonksiyon bulunabilir.Aritmetik ortalamaya göre moment çıkaran fonksiyon yardımıyla aritmetik ortalamaya göre momentler bulunabilir. Şöyle ki ;: bulunur.Burada aritmetik ortalamaya göre birinci, ikinci ve r’ inci momenttir. Türevler kısaca olarak da gösterilir.ÖRNEK : moment çıkaran fonksiyonu yardımıyla dağılımın aritmetik ortalamaya göre momentlerinizi bulunuz.ÇÖZÜM : Aritmetik ortalamaya göre birinci moment sıfır olduğundan, bulunur. Buradaki ’yü daha önceki örnekte orjine göre moment çıkaran fonksiyon yardımıyla bulmuştuk.Varyansı ise ;’ i vereceğinden yerine konursa V(x) = 1-1-1+ bulunur. Burada orjine göre moment çıkaran fonksiyon yardımıyla bulduğumuz değerin aynısını bulduk.ORTAK DAĞILIMLARDA MOMENT ÇIKARAN FONKSİYONX ve Y rasgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk, ya da ortak olasılık fonksiyonu olsun. Bunların orjine göre moment çıkaran fonksiyonlarını bulabiliriz. ve pozitif iki sayı olmak üzere , ve değerleri için nin beklenen değeri mevcut ise buna (x,y) nin ortak moment çıkaran fonksiyonu denir ve olarak gösterilebilir.X’in marjinal dağılımı ve bununda moment çıkaran fonksiyonu;Y’nin marjinal dağılımı ve bununda moment çıkaran fonksiyonu; olacaktır.Bu marjinal moment çıkaran fonksiyonlar yardımıyla X ve Y’nin ayrı ayrı momentleri hesaplanabilir. X ve Y’nin ortak momentleri ise ortak moment çıkaran fonksiyondan bulunur.Ortak moment çıkaran fonksiyon yardımıyla ortak momentlerin bulunuşu.veve olarak bulunur. bulunur.TEOREM: Eğer X ve Y rastgele değişkenleri bağımsız iseler, bunların ortak moment çıkaran fonksiyonları, her birinin marjinal moment çıkaran fonksiyonlarının çarpımına eşittir.İSPAT: dir. Eğer X ve Y bağımsız ise olacağından, buradan, bulunur.ÖRNEK: rastgele değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu,şeklinde verilmiştir.’nin moment çıkaran fonksiyonuyla ve değerlerini bulunuz.ÇÖZÜM: ; şeklinde bulunur. olur. olarak bulunur.MARKOV EŞİTSİZLİĞİX yalnızca pozitif değerleri alabilen bir rassal değişken ve t > 0 olsun. eşitsizliğine Markov eşitsizliği denir.İSPAT = X, sürekli bir rassal değişken olup, f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olsun. Bu durumda, olur.CHEBYSHEV EŞİTSİZLİĞİX, Var (x) belli olan rastgele değişken ise ve ise ifadesine Chebyshev Eşitsizliği İSPAT : alalım.Markov kullanırsak ;ÖRNEK : Bir otomobil fabrikasında günlük üretilen araba sayısı bir rassal değişken olup, günlük üretilen araba sayısının ortalaması 500’dür. Günlük üretimin 1000 otomobili geçmesinin olasılığı nedir ?Eğer günlük otomobil üretiminin varyansı 100 olarak bilinirse, bu durumda günlük üretimin 400 ile 500 arasında olmasının olasılığı nedir ?ÇÖZÜM : Markov eşitsizliğine göre,bulunur. Bir başka ifade ile fabrikadaki günlük üretimin 1000’den fazla olmasının olasılığı 0,50’ye eşit yada daha küçüktür. Chebyshev Eşitsizliği kullanılırsa;Ele alınan bir günde fabrikada 400 ile 500 arasında otomobil üretmenin olasılığı en az 0,99’dur.ÖRNEK : Bu ise olduğunu gösteriniz.ÇÖZÜM : dersek (Markov Eşitsizliği)ÖRNEK : sağlayan bir rasgele değişken ise; olduğunu gösteriniz.ÇÖZÜM : (Chebyskev Eşitsizliği)ÖRNEK : Normal dağılımlı X sürekli rassal değişkenin ortalaması = 2 ve Var(x)=4’tür. b > 0 olmak üzere Max P eşitliği veriliyor k değerini bulunuz.ÇÖZÜM : Chebyshev eşitsizliğinden gidilerek,yazılır. Eşitlik çözülürse,olarak bulunur.ÖRNEK : X rassal değişkeninin aritmetik ortalamasının 8 ve varyansının 4 olduğu bilinmektedir. Rassal olarak çekilen bir birimin; 5,6 ya eşit veya küçük ya da 10,4’e eşit veya büyük çıkma.4 ile 12 arasında çıkma olasılıklarının sınırlarını bulunuz. ÇÖZÜM : A olayı şöyle tanımlansın,A olayının olasılığı şöyle yazılabilir.Chebyshev eşitsizliği ele alınırsa olduğundan,bulunur. Bu sonuca göre çekilen bir birimin istenilen aralıkta çıkma olasılığı 0,6944’e eşit veya daha küçüktür.B olayı da aşağıdaki gibi tanımlansın.B olayının olasılığı ise aşağıdadır.Chebyshev eşitsizliği dikkate alınırsa, ve k = 2 içinolup, buradan B olayının olasılığı çekilirse,ve olur. Bir başka ifade ile çekilen bir birimin 4 ile 12 arasında çıkma olasılığı 0,75’den büyük olmaktadır.