Sunum İçeriği

PASCAL ÜÇGENİ-22860010414000        Blaise Pascal’ın sayılara ait üçgen modelini hatırlayınız. Bu üçgeni yukarıdaki şekilde görüyorsunuz. Bu üçgene Pascal Üçgeni denir.  Pascal Üçgeni:          Pascal üçgeni, şekilde de görüldüğü gibi kenarlarda "1" olmak üzere her sayı, üstündeki iki sayının toplamı olarak yazılacak şekilde oluşturulur. Pascal üçgeninin bazı özellikleri: Kenarlar "1"den oluşur ikinci(kırmızı) sıra, pozitif tamsayılar serisidir. Üçüncü(mavi) sıra, üçgen sayılardır. (1, 3, 6, 10 15,...) Aynı yöndeki sayıların(sarı) toplamı, seçtiğimiz son sayının ters yönündeki sayıya eşittir. (Örnek: 1+2+3+4+5+6+7=28, 1+4+10+20+35=70 gibi) Her sıradaki sayıların toplamı, 'sıfır'dan başlamak üzere "2"nin üslerini verir. 20, 21, 22, 23 ,24 ,... (Örnek: 5. sıradaki sayıların toplamı, 1+4+6+4+1=16=24 ) Her sıra, yine 'sıfır'dan başlamak üzere kendi derecesinden bir polinomun katsayılarını verir. ( Örnek: (a+b)3=1a3+3ab2+3a2b+1b3) 

Sunum İçeriği

914400212725 PASCAL ÜÇGENİ – BİNOM AÇILIMI00 PASCAL ÜÇGENİ – BİNOM AÇILIMIBir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL” üçgenini oluşturalım.Kümenin Eleman Sayısı:s(A)=0...........................................................1s(A)=1........................................................1.....1s(A)=2...................................................1.....2.....1s(A)=3..............................................1.....3.....3.....1s(A)=4..........................................1.....4.....6.....4.....1s(A)=5......................................1.....5.....10....10.....5....1 ...Üçgenin tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.Örneğin; s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1 s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.A={a,b,c} kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.0 elemanlı alt kümesi{}1 tane1 elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c}3 tane2 elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane3 elemanlı alt kümeleri{a,b,c}1 tanes(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0 elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin sayısını gösterir.Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim. *6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın satırındaki üçüncü sayı)*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:3 elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı)4 elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı)*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım: 1.YOL: (21+35+21+7+1)=120 2.YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)Binom Açılımı:(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.(a+b)5=? Katsayılar15101051A nın kuvvetleria5a4a3a2a1B nin kuvvetleri1bb2b3b4b6(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5*(5x-3y)2=?Katsayılar1215x’in kuvvetleri25x25x1-3y’nin kuvvetleri1-3y9y2(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2 Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir.